डिराक ब्रा-केट नोटेशन

डिराक का ब्रा-केट नोटेशन एक स्थिति सदिश को केट के रूप में और उसके द्वैत को ब्रा के रूप में लिखता है, जिससे एक आंतरिक गुणनफल एक ब्रैकेट बन जाता है और एक बाहरी गुणनफल एक ऑपरेटर बन जाता है, जो क्वांटम यांत्रिकी को एक सुगठित, आधार-स्वतंत्र बीजगणित प्रदान करता है।

Definition

ब्रा-केट नोटेशन डिराक की प्रतीकात्मक प्रणाली है जिसमें एक क्वांटम अवस्था को एक केट द्वारा, उसके संयुग्मी द्वैत को एक ब्रा द्वारा, उनके आंतरिक गुणनफल को एक ब्रैकेट द्वारा, और ऑपरेटरों को बाहरी गुणनफल द्वारा दर्शाया जाता है, जो हिल्बर्ट स्पेस पर सदिशों, द्वैत सदिशों और रैखिक ऑपरेटरों के लिए एक समान नोटेशन प्रदान करता है।

Scope

इस विषय में केट को स्थिति सदिश के रूप में और ब्रा को द्वैत स्थान के तत्वों के रूप में, आंतरिक गुणनफल को ब्रा-केट ब्रैकेट के रूप में, बाहरी गुणनफल को ऑपरेटरों और प्रोजेक्टरों के रूप में, पूर्णता या पहचान-संकल्प संबंध को, ऑपरेटरों की क्रिया और उनके मैट्रिक्स तत्वों को, और अमूर्त सदिशों तथा उनके स्थिति- या संवेग-स्थान निरूपणों के बीच के संक्रमण को शामिल किया गया है।

Core questions

• केट और ब्रा अवस्थाओं और उनके द्वैत का प्रतिनिधित्व कैसे करते हैं?
• इस नोटेशन में आंतरिक गुणनफल, बाहरी गुणनफल और मैट्रिक्स तत्वों को कैसे लिखा जाता है?
• पूर्णता संबंध क्या है और यह गणनाओं का मुख्य आधार क्यों है?
• अमूर्त ब्रा-केट अभिव्यक्तियों और स्पष्ट तरंगफलनों के बीच अनुवाद कैसे किया जाता है?

Key concepts

• केट सदिश
• ब्रा सदिश
• आंतरिक गुणनफल ब्रैकेट
• बाहरी गुणनफल ऑपरेटर
• पूर्णता संबंध
• मैट्रिक्स तत्व

Key theories

केट, ब्रा, और द्वैत स्थान

हिल्बर्ट स्पेस में प्रत्येक केट आंतरिक गुणनफल के माध्यम से द्वैत स्थान में एक ब्रा से मेल खाता है; ब्रैकेट जटिल आयाम देते हैं, जबकि एक केट का एक ब्रा के साथ बाहरी गुणनफल एक ऑपरेटर बनाता है, जिसमें एक अवस्था पर प्रोजेक्टर इसका प्रमुख उदाहरण है।

पहचान का संकल्प

एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार पर प्रोजेक्टरों का योग या समाकलन पहचान ऑपरेटर देता है, और प्रतीकों के बीच इस संकल्प को डालने से अमूर्त अभिव्यक्तियाँ घटकों के योग या एक सतत निरूपण पर समाकलन में परिवर्तित हो जाती हैं।

Clinical relevance

ब्रा-केट नोटेशन क्वांटम भौतिकी और क्वांटम कंप्यूटिंग का सार्वभौमिक संक्षिप्त रूप है: आयामों, संक्रमण संभावनाओं, प्रत्याशित मानों और गेट ऑपरेशनों को सभी ब्रैकेट और बाहरी गुणनफल के रूप में लिखा और हेरफेर किया जाता है, जिससे यह क्वांटम प्रणालियों के पेंसिल-और-कागज और सॉफ्टवेयर विवरण दोनों के लिए व्यावहारिक भाषा बन जाती है।

History

डिराक ने 1939 में ब्रा-केट नोटेशन की शुरुआत की, अपने पहले के परिवर्तन सिद्धांत को एक एकल सुरुचिपूर्ण औपचारिकता में परिष्कृत किया; यह तेजी से क्वांटम यांत्रिकी का मानक नोटेशन बन गया और बाद में क्वांटम सूचना विज्ञान द्वारा पूरी तरह से अपनाया गया।

Key figures

• Paul Dirac
• John von Neumann
• Pascual Jordan

Seminal works

• dirac1981

Frequently asked questions

ब्रा और केट में क्या अंतर है?

एक केट हिल्बर्ट स्पेस में एक स्थिति सदिश को दर्शाता है, जबकि संबंधित ब्रा द्वैत स्थान में उसका संयुग्मी-ट्रांसपोज़ साथी होता है; एक ब्रा को एक केट के साथ जोड़ने से एक आंतरिक गुणनफल बनता है जो एक जटिल संख्या, आयाम देता है।

ब्रा-केट नोटेशन तरंगफलनों से कैसे संबंधित है?

एक तरंगफलन एक विशेष आधार में एक अमूर्त केट का घटक होता है, जिसे एक स्थिति या संवेग आइगेनब्रा के साथ स्थिति केट के ब्रैकेट के रूप में प्राप्त किया जाता है, इसलिए ब्रा-केट नोटेशन विभिन्न तरंगफलन निरूपणों को सामान्यीकृत और एकीकृत करता है।