हैमिल्टन-जैकोबी सिद्धांत

हैमिल्टन-जैकोबी सिद्धांत चर में एक विहित परिवर्तन की तलाश करता है जिसमें गति तुच्छ होती है, जिससे यांत्रिकी को क्रिया के लिए एक एकल प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण को हल करने तक सीमित कर दिया जाता है।

Definition

हैमिल्टन-जैकोबी सिद्धांत यांत्रिकी का वह सूत्रीकरण है जिसमें कोई एक जनरेटिंग फ़ंक्शन के लिए प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को हल करता है जो निर्देशांक में परिवर्तित होता है जहां सभी संवेग स्थिर होते हैं और गति तात्कालिक होती है।

Scope

यह विषय हैमिल्टन के प्रमुख और विशिष्ट कार्यों के लिए हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण, इसे हल करने के लिए चरों के पृथक्करण की विधि, आवधिक और बहु-आवधिक प्रणालियों के लिए क्रिया-कोण चरों का निर्माण, और तरंग यांत्रिकी की शास्त्रीय सीमा और वैचारिक पूर्वज के रूप में सिद्धांत की भूमिका को शामिल करता है।

Core questions

• हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण क्या है, और यह किस फलन को निर्धारित करता है?
• चरों का पृथक्करण समाकलनीय प्रणालियों के लिए समीकरण को कैसे हल करने योग्य बनाता है?
• क्रिया-कोण चर क्या हैं और वे क्यों मूल्यवान हैं?

Key concepts

• हैमिल्टन का प्रमुख फलन
• हैमिल्टन का विशिष्ट फलन
• चरों का पृथक्करण
• क्रिया-कोण चर
• पूर्ण समाकल

Key theories

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण

हैमिल्टन के प्रमुख फलन के लिए एक प्रथम-क्रम अरेखीय आंशिक अंतर समीकरण जिसका पूर्ण समाधान एक विहित परिवर्तन उत्पन्न करता है जो प्रणाली को स्थिर नए निर्देशांक और संवेग तक कम कर देता है।

क्रिया-कोण चर

आवधिक प्रणालियों के लिए सिद्धांत क्रिया चर उत्पन्न करता है जो गति के स्थिरांक होते हैं और संयुग्मी कोण चर जो समय में समान रूप से आगे बढ़ते हैं, जो विक्षोभ सिद्धांत और परिमाणीकरण के लिए आदर्श हैं।

Clinical relevance

हैमिल्टन-जैकोबी सिद्धांत ने पुराने क्वांटम सिद्धांत के बोहर-सोमरफेल्ड परिमाणीकरण के लिए ढांचा प्रदान किया, तरंग समीकरणों की ईकोनल और ज्यामितीय-प्रकाशिकी सीमा का अनुमान लगाता है, और इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र में उपयोग किए जाने वाले संबंधित हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन समीकरण के माध्यम से इष्टतम-नियंत्रण सिद्धांत को रेखांकित करता है।

History

हैमिल्टन ने 1830 के दशक की शुरुआत में प्रकाशिकी और यांत्रिकी में प्रमुख कार्य विकसित किया, और जैकोबी ने सिद्धांत को फिर से तैयार किया और पूरा किया, समीकरण को उसका आधुनिक रूप दिया और गतिशील समस्याओं को एकीकृत करने के लिए इसकी शक्ति को दर्शाया। बीसवीं सदी की शुरुआत में क्रिया-कोण सूत्रीकरण सोमरफेल्ड के परिमाणीकरण नियमों का आधार बन गया, जिसने शास्त्रीय यांत्रिकी को उभरते क्वांटम सिद्धांत से जोड़ा।

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Arnold Sommerfeld

Seminal works

• goldstein2002
• landau1976

Frequently asked questions

गति के सामान्य समीकरणों के बजाय आंशिक अंतर समीकरण को क्यों हल करें?

एकल हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का एक पूर्ण समाधान एक विहित परिवर्तन उत्पन्न करता है जो पूरी गति को एक साथ स्पष्ट करता है, जो वियोज्य, समाकलनीय प्रणालियों के लिए युग्मित सामान्य समीकरणों को सीधे एकीकृत करने की तुलना में अधिक शक्तिशाली है।

यह सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी से कैसे जुड़ता है?

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण श्रोडिंगर समीकरण की लघु-तरंगदैर्ध्य सीमा है, और हैमिल्टन का प्रमुख फलन क्वांटम तरंगफलन के चरण की भूमिका निभाता है, जिससे यह सिद्धांत तरंग यांत्रिकी का शास्त्रीय कंकाल बन जाता है।