गैलोज़ समूह

किसी क्षेत्र विस्तार का गैलोज़ समूह आधार क्षेत्र को स्थिर करने वाले क्षेत्र ऑटोमॉर्फिज्म का समूह है, जो एक बहुपद के मूलों की समरूपताओं को एन्कोड करता है और मध्यवर्ती क्षेत्रों को अनुक्रमित करता है।

Definition

एक क्षेत्र विस्तार के लिए, गैलोज़ समूह बड़े क्षेत्र के ऑटोमॉर्फिज्म का समूह है जो आधार क्षेत्र के प्रत्येक तत्व को स्थिर करता है; विस्तार को गैलोज़ कहा जाता है जब यह समूह डिग्री जितना बड़ा होता है, जो परिमित सामान्य और वियोज्य विस्तार के लिए ठीक-ठीक होता है।

Scope

यह विषय क्षेत्र विस्तार के ऑटोमॉर्फिज्म, गैलोज़ समूह की परिभाषा, सामान्य और वियोज्य विस्तार, गैलोज़ सिद्धांत का मौलिक प्रमेय, और बहुपदों के गैलोज़ समूहों की गणना तथा मूलों के क्रमचय समूहों के रूप में उनकी व्याख्या को शामिल करता है।

Core questions

• एक क्षेत्र विस्तार में कौन सी समरूपताएँ होती हैं?
• एक विस्तार कब गैलोज़ होता है, और उसके ऑटोमॉर्फिज्म समूह का आकार कितना होता है?
• गैलोज़ समूह मध्यवर्ती क्षेत्रों के साथ कैसे मेल खाता है?
• एक बहुपद का गैलोज़ समूह उसके मूलों के क्रमचय समूह के रूप में कैसे साकार होता है?

Key theories

गैलोज़ सिद्धांत का मौलिक प्रमेय

एक परिमित गैलोज़ विस्तार के लिए मध्यवर्ती क्षेत्रों और गैलोज़ समूह के उपसमूहों के बीच एक समावेशन-उलटाने वाला द्विपक्षीय संबंध होता है, जिसके तहत एक उप-विस्तार की डिग्री संबंधित उपसमूह के सूचकांक के बराबर होती है।

मूलों के क्रमचय के रूप में गैलोज़ समूह

एक वियोज्य बहुपद का गैलोज़ समूह उसके मूलों पर निष्ठापूर्वक कार्य करता है, इसे उन मूलों पर सममित समूह के एक उपसमूह के रूप में एम्बेड करता है, जो समूह को बाधित और गणना करने में मदद करता है।

स्थिर क्षेत्रों पर आर्टिन का प्रमेय

यदि ऑटोमॉर्फिज्म का एक परिमित समूह एक क्षेत्र पर कार्य करता है, तो पूरा क्षेत्र उस समूह के साथ गैलोज़ समूह के रूप में स्थिर उपक्षेत्र का एक गैलोज़ विस्तार होता है, जो गैलोज़ समूहों के निर्माण के लिए एक विलोम प्रदान करता है।

Clinical relevance

गैलोज़ समूह क्षेत्र विस्तार और बहुपद समीकरणों के बारे में प्रश्नों को समूह सिद्धांत में परिवर्तित करता है; इसकी विलेयता रेडिकल्स द्वारा विलेयता का निर्णय करती है, और व्युत्क्रम गैलोज़ समस्या तथा गैलोज़ निरूपण इसे आधुनिक संख्या सिद्धांत और अंकगणितीय ज्यामिति के लिए केंद्रीय बनाते हैं।

History

गैलोज़ ने 1830 के दशक में प्रत्येक समीकरण को उसके मूलों के क्रमचय के एक समूह से जोड़ा, जो मूल गैलोज़ समूह था। डेडेकिंड और आर्टिन ने इसे क्षेत्रों के ऑटोमॉर्फिज्म के संदर्भ में फिर से परिभाषित किया, और स्थिर क्षेत्रों के संदर्भ में आर्टिन के सूत्रीकरण ने सिद्धांत को उसका आधुनिक, वैचारिक आकार दिया।

Key figures

• Évariste Galois
• Emil Artin
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

एक क्षेत्र विस्तार कब गैलोज़ होता है?

एक परिमित विस्तार गैलोज़ होता है जब वह सामान्य (इसमें अपने प्रत्येक तत्व के सभी संयुग्मी होते हैं) और वियोज्य (न्यूनतम बहुपदों के अलग-अलग मूल होते हैं) दोनों होता है। समतुल्य रूप से, आधार को स्थिर करने वाले ऑटोमॉर्फिज्म समूह का क्रम डिग्री के बराबर होता है।

गैलोज़ समूह को मूलों को क्रमचय करते हुए क्यों देखा जाता है?

आधार क्षेत्र को स्थिर करने वाले एक ऑटोमॉर्फिज्म को एक बहुपद के मूलों को अन्य मूलों पर भेजना चाहिए, इसलिए समूह मूलों के परिमित सेट पर कार्य करता है। यह गैलोज़ समूह को एक सममित समूह के भीतर साकार करता है, जिससे यह गणना योग्य हो जाता है और इसे क्रमचय-समूह सिद्धांत से जोड़ता है।