Homomorphisme d'anneaux

Un homomorphisme d'anneaux est une application qui préserve la structure entre anneaux, le morphisme de la théorie des anneaux dont le noyau est un idéal et dont l'image est un sous-anneau, régie par les théorèmes d'isomorphisme.

Definition

Un homomorphisme d'anneaux est une fonction entre anneaux qui préserve l'addition, la multiplication et (par convention) l'identité multiplicative, de sorte que les opérations algébriques soient respectées.

Scope

Ce sujet couvre la définition des homomorphismes et isomorphismes d'anneaux, les noyaux et les images, les quatre théorèmes d'isomorphisme pour les anneaux, la caractéristique et le sous-anneau premier, ainsi que les propriétés universelles des anneaux quotients et des applications d'évaluation.

Core questions

• Que signifie pour une application de préserver la structure d'un anneau ?
• Comment le noyau et l'image d'un homomorphisme se rapportent-ils aux idéaux et aux sous-anneaux ?
• Comment les théorèmes d'isomorphisme factorisent-ils un homomorphisme à travers un quotient ?
• Comment les applications d'évaluation et de réduction apparaissent-elles comme des homomorphismes d'anneaux ?

Key theories

Premier théorème d'isomorphisme pour les anneaux

Tout homomorphisme d'anneaux se factorise comme une surjection sur son image suivie d'une inclusion, et son image est isomorphe au quotient du domaine par son noyau, qui est un idéal.

Théorèmes de correspondance et d'isomorphisme

Le passage au quotient par un idéal établit une bijection entre les idéaux qui le contiennent et les idéaux du quotient, et les deuxième, troisième et quatrième théorèmes d'isomorphisme décrivent comment les sous-anneaux, les idéaux et les quotients interagissent sous les homomorphismes.

Propriété universelle des quotients

Un homomorphisme dont le noyau contient un idéal donné se factorise de manière unique à travers le quotient par cet idéal, ainsi les anneaux quotients sont universels parmi les images homomorphes annulant l'idéal.

Clinical relevance

Les homomorphismes d'anneaux formalisent les opérations fondamentales de l'algèbre : la réduction modulo un entier ou un polynôme, l'évaluation de polynômes et l'inclusion d'un anneau dans un plus grand sont tous des homomorphismes. Ils transforment les anneaux en une catégorie et sont les applications par lesquelles la structure et le calcul se transfèrent en théorie des nombres et en géométrie algébrique.

History

Les théorèmes d'homomorphisme et d'isomorphisme ont été abstraits de la théorie des groupes aux anneaux dans le cadre du programme d'algèbre structurelle d'Emmy Noether dans les années 1920, unifiant des constructions qui avaient été traitées au cas par cas auparavant en théorie des nombres et en théorie des équations.

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Emil Artin

Seminal works

• dummit2004
• hungerford1974
• lang2002

Frequently asked questions

Pourquoi le noyau d'un homomorphisme d'anneaux doit-il être un idéal ?

Le noyau est fermé sous l'addition et, parce que l'application envoie les produits sur les produits et que l'image d'un élément du noyau est zéro, il absorbe la multiplication par tout élément de l'anneau. Cette propriété d'absorption est précisément la définition d'un idéal.

Quel est un exemple d'homomorphisme d'anneaux en algèbre courante ?

La réduction des entiers modulo n, l'évaluation d'un polynôme en un nombre fixe et la conjugaison complexe sont tous des homomorphismes d'anneaux. Chacun préserve les sommes et les produits, et les théorèmes d'isomorphisme décrivent leurs images comme des anneaux quotients.