Module Libre

Un module libre est un module qui admet une base, l'analogue le plus proche d'un espace vectoriel en théorie des modules et le bloc de construction universel à partir duquel tous les modules sont des quotients.

Definition

Un module libre sur un anneau est un module isomorphe à une somme directe de copies de l'anneau, ou de manière équivalente, un module possédant une base, un ensemble générateur linéairement indépendant.

Scope

Ce sujet aborde la définition d'un module libre, sa propriété universelle, son rang et la propriété d'invariance de la dimension pour les anneaux commutatifs, la présentation de modules arbitraires comme quotients de modules libres, et la notion connexe de modules projectifs.

Core questions

• Que signifie pour un module d'avoir une base ?
• Quelle propriété universelle caractérise les modules libres ?
• Le rang d'un module libre est-il bien défini ?
• Comment tout module peut-il être obtenu comme quotient d'un module libre ?

Key theories

Propriété universelle des modules libres

Un module libre sur un ensemble est universel parmi les modules recevant une application de cet ensemble : toute fonction de la base vers un module s'étend de manière unique à un homomorphisme de modules, faisant des modules libres les objets libres de la théorie des modules.

Invariance du rang

Sur un anneau commutatif unitaire, deux bases quelconques d'un module libre ont la même cardinalité, de sorte que le rang est un invariant bien défini, généralisant l'invariance de la dimension pour les espaces vectoriels.

Présentations libres

Tout module est un quotient d'un module libre par un sous-module de relations, ce qui donne une présentation par générateurs et relations ; lorsque le module de relations est également libre, il s'agit d'une résolution libre, le point de départ de l'algèbre homologique.

Clinical relevance

Les modules libres sont l'outil essentiel de l'algèbre computationnelle et homologique : les présentations et résolutions par modules libres permettent de calculer des invariants tels que Tor et Ext, et sur les domaines d'idéaux principaux, l'interaction entre les sous-modules libres et de torsion conduit au théorème de structure sous-jacent aux formes canoniques et à la classification des groupes abéliens.

History

La notion de base pour un module a généralisé les bases des espaces vectoriels et les groupes abéliens libres de l'arithmétique du XIXe siècle. Les modules libres et leurs résolutions sont devenus centraux avec l'essor de l'algèbre homologique au milieu du XXe siècle, où ils mesurent à quel point les modules s'écartent d'être libres.

Key figures

• Emmy Noether
• Heinrich Brandt
• Wolfgang Krull

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• atiyah1969

Frequently asked questions

Tout module est-il libre ?

Non. Sur un corps, tout module est libre, mais sur un anneau général, la plupart des modules ne le sont pas ; par exemple, les entiers modulo n n'ont pas de base en tant que module sur les entiers. Les modules libres sont précisément ceux qui admettent une base.

Comment les modules projectifs sont-ils liés aux modules libres ?

Les modules projectifs sont exactement les sommants directs des modules libres, une classe légèrement plus large. Sur certains anneaux, tels que les domaines d'idéaux principaux, les modules projectifs et libres de type fini coïncident, mais en général, ils diffèrent.