Observables et mesure quantique

En mécanique quantique, toute quantité mesurable est représentée par un opérateur hermitien dont les valeurs propres sont les résultats possibles ; une mesure renvoie une valeur propre au hasard, pondérée par la règle de Born, et laisse le système dans l'état propre correspondant.

Definition

Un observable est un opérateur auto-adjoint sur l'espace de Hilbert du système dont les valeurs propres sont les résultats de mesure possibles ; la mesure projette l'état sur un sous-espace propre, renvoyant la valeur propre correspondante avec une probabilité donnée par la règle de Born.

Scope

Le sujet couvre les opérateurs hermitiens et auto-adjoints et leurs spectres réels, l'équation aux valeurs propres et la décomposition spectrale, les valeurs d'espérance et leur dépendance temporelle, les observables qui commutent et les ensembles complets d'observables compatibles, le principe d'incertitude pour les opérateurs qui ne commutent pas, et les mesures généralisées décrites par des mesures à valeurs d'opérateurs positives.

Core questions

• Pourquoi les observables doivent-ils être représentés par des opérateurs hermitiens ?
• Comment la moyenne et la dispersion des mesures répétées sont-elles calculées à partir de l'état ?
• Quand deux observables peuvent-ils être mesurés simultanément avec une précision arbitraire ?
• Que dit le principe d'incertitude sur les observables incompatibles ?

Key concepts

• Opérateur hermitien
• Valeur propre et état propre
• Valeur d'espérance
• Observables qui commutent
• Ensemble complet d'observables compatibles
• Incertitude de Heisenberg

Key theories

Théorème spectral pour les observables

Un opérateur auto-adjoint possède des valeurs propres réelles et une base propre orthonormée, de sorte que tout observable peut être décomposé en une somme, ou une intégrale, de ses valeurs propres multipliées par des projecteurs sur les sous-espaces propres correspondants, ce qui est précisément la structure exploitée par la mesure.

Principe d'incertitude

Pour deux observables, le produit des écarts-types de leurs mesures dans n'importe quel état est borné inférieurement par la moitié de la magnitude de l'espérance de leur commutateur, de sorte que des quantités qui ne commutent pas, telles que la position et l'impulsion, ne peuvent pas être définies simultanément avec précision.

Clinical relevance

La représentation opératorielle de la mesure est à la base de la spectroscopie, où les énergies mesurées sont des valeurs propres d'opérateurs, et de la métrologie et de la tomographie quantiques, où les valeurs d'espérance et les ensembles d'observables compatibles déterminent la quantité d'informations pouvant être extraites d'un état ; le principe d'incertitude fixe des limites fondamentales à la précision en détection et en microscopie.

History

Heisenberg a introduit sa relation d'incertitude en 1927, et la même année a vu la formalisation de l'opérateur prendre forme ; le traité de von Neumann de 1932 a donné aux opérateurs de mesure et auto-adjoints une base rigoureuse, et des travaux ultérieurs ont généralisé les mesures projectives aux mesures à valeurs d'opérateurs positives en information quantique.

Debates

Interprétation du principe d'incertitude

La question de savoir si le principe d'incertitude reflète une perturbation inévitable par l'appareil de mesure ou une propriété intrinsèque des états quantiques indépendante de la mesure est débattue depuis Heisenberg ; les relations modernes de perturbation-mesure distinguent les deux notions.

Key figures

• Werner Heisenberg
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Eugene Wigner

Seminal works

• vonneumann1955
• sakurai2017

Frequently asked questions

Pourquoi les observables doivent-ils être hermitiens ?

Les opérateurs hermitiens ont des valeurs propres réelles, ce qui correspond à l'exigence que les résultats de mesure soient des nombres réels, et ils possèdent une base propre orthonormée complète qui permet à la règle de Born d'attribuer un ensemble cohérent de probabilités de résultats.

Deux observables peuvent-ils être mesurés en même temps ?

Seulement si leurs opérateurs commutent ; les observables qui commutent partagent une base propre et peuvent se voir attribuer des valeurs définies simultanément, tandis que les observables qui ne commutent pas obéissent à une relation d'incertitude qui interdit des valeurs précises simultanées.