Tests du rapport de vraisemblance

Le test du rapport de vraisemblance compare la qualité de l'ajustement des données sous un modèle nul restreint par rapport à un modèle complet, et sa distribution pour de grands échantillons en fait un outil de test universel.

Definition

Le test du rapport de vraisemblance généralisé rejette l'hypothèse nule lorsque le rapport de la vraisemblance maximisée sous l'hypothèse nule à la vraisemblance maximisée sur l'espace complet des paramètres est faible, ou, de manière équivalente, lorsque moins deux fois son logarithme est grand.

Scope

Ce sujet aborde la statistique du rapport de vraisemblance généralisé pour les hypothèses composites, le théorème de Wilks selon lequel moins deux fois le logarithme du rapport de vraisemblance est asymptotiquement distribué selon une loi du chi-deux avec un nombre de degrés de liberté égal au nombre de contraintes, les tests de Wald et du score (Rao) asymptotiquement équivalents, les relations et différences entre ces trois tests, ainsi que les conditions de régularité et les exceptions telles que les paramètres situés sur une frontière.

Core questions

• Comment la statistique du rapport de vraisemblance généralisé est-elle construite pour les hypothèses composites ?
• Pourquoi moins deux fois le logarithme du rapport de vraisemblance est-il asymptotiquement distribué selon une loi du chi-deux, comme dans le théorème de Wilks ?
• Comment les tests de Wald et du score se rapportent-ils au test du rapport de vraisemblance ?
• Quand l'approximation standard du chi-deux échoue-t-elle ?

Key theories

Théorème de Wilks

Sous l'hypothèse nule et les conditions de régularité, moins deux fois le logarithme du rapport de vraisemblance converge vers une distribution du chi-deux dont les degrés de liberté sont égaux au nombre de restrictions imposées par l'hypothèse nule.

La trinité de Wald, du score et du rapport de vraisemblance

Le test de Wald utilise la distance de l'estimation par rapport à l'hypothèse nule, le test du score utilise le gradient de la log-vraisemblance à l'hypothèse nule, et le test du rapport de vraisemblance utilise la différence des maxima ; tous trois partagent la même distribution asymptotique du chi-deux.

Clinical relevance

Les tests du rapport de vraisemblance, de Wald et du score sont les tests de signification standard rapportés par les logiciels pour les coefficients de régression, les comparaisons de modèles imbriqués et l'adéquation de l'ajustement, ce qui en fait des outils inférentiels courants en épidémiologie, en économétrie et dans les sciences expérimentales.

History

Wilks a établi la distribution asymptotique du chi-deux de la statistique du rapport de vraisemblance en 1938. Wald a introduit son test en 1943 et Rao le test du score en 1948, et l'équivalence asymptotique des trois a été clarifiée au milieu du XXe siècle.

Key figures

• Samuel S. Wilks
• Abraham Wald
• Calyampudi Radhakrishna Rao
• Aad van der Vaart

Seminal works

• casella2002

Frequently asked questions

Quand les tests de Wald, du score et du rapport de vraisemblance divergent-ils ?

Ils sont asymptotiquement équivalents mais peuvent différer pour des échantillons finis ; les tests du rapport de vraisemblance et du score sont généralement plus fiables que le test de Wald lorsque la vraisemblance est loin d'être quadratique ou que les estimations sont proches d'une frontière.

Quels sont les degrés de liberté dans le théorème de Wilks ?

Ils sont égaux au nombre de contraintes indépendantes que l'hypothèse nule impose aux paramètres, c'est-à-dire la différence de dimension entre le modèle complet et le modèle restreint.