Grands cardinaux

Les grands cardinaux sont des axiomes forts de l'infini affirmant l'existence de cardinaux si grands que leur existence ne peut être prouvée dans ZFC, et ils forment une hiérarchie quasi linéaire qui calibre la force des théories mathématiques.

Definition

Un axiome de grand cardinal affirme l'existence d'un cardinal possédant une forte propriété de clôture ou de réflexion, généralement exprimable par un plongement élémentaire de l'univers ; de tels cardinaux dépassent ce que ZFC peut prouver exister et augmentent ainsi la force de cohérence de la théorie.

Scope

Ce sujet couvre les principales notions de grands cardinaux, telles que les cardinaux inaccessibles, de Mahlo, faiblement compacts, mesurables et supercompacts, leurs caractérisations via la réflexion et les plongements élémentaires, la hiérarchie de force de cohérence qu'ils génèrent, et leurs liens avec la déterminacy et la théorie des modèles intérieurs.

Core questions

• Quelles propriétés de clôture et de réflexion définissent les principaux grands cardinaux ?
• Comment les plongements élémentaires caractérisent-ils les cardinaux mesurables et plus forts ?
• Pourquoi les grands cardinaux forment-ils une hiérarchie quasi linéaire de force de cohérence ?
• Comment les grands cardinaux interagissent-ils avec la déterminacy et la structure des réels ?

Key theories

Cardinaux inaccessibles et de Mahlo

Un cardinal inaccessible est régulier et une limite forte, il ne peut donc pas être atteint par les opérations ensemblistes usuelles et fournit un modèle naturel de ZFC ; les cardinaux de Mahlo reflètent l'inaccessibilité, amorçant la hiérarchie.

Cardinaux mesurables et plongements élémentaires

Un cardinal mesurable est doté d'un ultrafiltre non trivial dénombrablement complet, ce qui équivaut à être le point critique d'un plongement élémentaire de l'univers dans un modèle intérieur, contredisant l'axiome de constructibilité.

Hiérarchie de force de cohérence

Les axiomes de grands cardinaux sont ordonnés par cohérence relative, de sorte que la cohérence de l'un implique celle de tous les plus faibles, fournissant un étalon par rapport auquel la force des théories arbitraires est mesurée.

Clinical relevance

Les grands cardinaux fournissent l'échelle canonique de la force de cohérence en mathématiques : de nombreuses assertions s'avèrent équiconsistantes avec l'existence d'un certain grand cardinal, et les grands cardinaux forts impliquent des propriétés de régularité de la droite réelle, telles que la déterminacy projective et la mesurabilité au sens de Lebesgue des ensembles définissables.

History

Les cardinaux inaccessibles sont apparus des études de Zermelo et Sierpinski-Tarski sur les modèles de la théorie des ensembles, et les travaux d'Ulam en 1930 sur la mesure ont conduit aux cardinaux mesurables. Scott a montré en 1961 qu'un cardinal mesurable réfute l'axiome de constructibilité, et les travaux ultérieurs de Solovay, Martin, Woodin et d'autres ont construit la hiérarchie moderne et ses liens avec la déterminacy.

Key figures

• Stanislaw Ulam
• Dana Scott
• Robert Solovay
• Hugh Woodin

Seminal works

• kanamori2009
• jech2003
• kunen2011

Frequently asked questions

Pourquoi ZFC ne peut-il pas prouver l'existence des grands cardinaux ?

Un cardinal inaccessible produit un modèle ensembliste de ZFC ; ainsi, selon le second théorème d'incomplétude de Goedel, ZFC ne peut prouver l'existence d'un tel cardinal sans prouver sa propre cohérence, ce qu'il ne peut faire. Le même raisonnement s'applique, a fortiori, aux grands cardinaux plus forts.

Pourquoi étudier des axiomes dont la cohérence ne peut être prouvée ?

Les grands cardinaux fournissent une échelle cohérente et bien ordonnée pour comparer la force des théories mathématiques, et ils résolvent des questions autrement indépendantes concernant les ensembles définissables de réels, ce qui en fait un outil d'organisation central même si leur cohérence doit être supposée.