Qu'est-ce qu'un modèle non standard de l'arithmétique ?

Par compacité, on peut ajouter aux axiomes de l'arithmétique une constante plus grande que chaque numéral ; la théorie cohérente résultante a un modèle contenant des éléments infinis au-delà des nombres naturels standard. De tels modèles satisfont exactement les mêmes phrases du premier ordre que le modèle standard.

Qu'est-ce que le paradoxe de Skolem ?

Le théorème de Loewenheim-Skolem descendant donne un modèle dénombrable de la théorie des ensembles, même si cette théorie prouve l'existence d'ensembles indénombrables. La résolution est que l'indénombrabilité est relative au modèle : un ensemble que le modèle considère comme indénombrable n'a pas de bijection avec les nombres naturels à l'intérieur du modèle, bien qu'une telle bijection existe à l'extérieur.

Théorèmes de compacité et de Loewenheim-Skolem

Les théorèmes de compacité et de Loewenheim-Skolem sont les deux résultats fondamentaux qui régissent les structures que les théories du premier ordre peuvent décrire, révélant à la fois la puissance et les limitations inhérentes de la logique du premier ordre.

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Definition

Le théorème de compacité stipule qu'un ensemble de phrases du premier ordre est satisfaisable si et seulement si chacun de ses sous-ensembles finis l'est ; les théorèmes de Loewenheim-Skolem stipulent que toute théorie du premier ordre possédant un modèle infini a des modèles dans toute cardinalité infinie au moins égale à celle de son langage.

Scope

Ce sujet couvre le théorème de compacité et sa preuve via la complétude ou les ultraproduits, les théorèmes de Loewenheim-Skolem descendant et ascendant sur les cardinalités des modèles, leurs conséquences standard incluant l'existence de modèles non standard de l'arithmétique et de l'analyse, ainsi que le paradoxe de Skolem.

Core questions

Pourquoi la satisfiabilité finie d'une théorie garantit-elle un modèle ?
Comment ces théorèmes produisent-ils des modèles non standard de l'arithmétique et des nombres réels ?
Pourquoi aucune théorie du premier ordre ne peut-elle caractériser une structure infinie à la cardinalité près ?
Qu'est-ce que le paradoxe de Skolem et comment est-il résolu ?

Key theories

Compactness theorem: Si tout sous-ensemble fini d'un ensemble de phrases a un modèle, alors l'ensemble entier a un modèle ; cela découle de la complétude ou peut être prouvé sémantiquement avec des ultraproduits.
Downward Loewenheim-Skolem theorem: Toute structure infinie possède une sous-structure élémentaire de cardinalité au plus égale à celle de son langage, de sorte que les théories dénombrables avec des modèles infinis ont des modèles dénombrables.
Upward Loewenheim-Skolem theorem: Tout modèle infini peut être étendu élémentairement à des modèles de toute cardinalité plus grande, de sorte que les théories du premier ordre ne peuvent pas fixer la taille de leurs modèles infinis.

Clinical relevance

Ces théorèmes sont les piliers de la théorie des modèles : la compacité est utilisée pour construire des modèles non standard qui prouvent ou transfèrent des résultats, et les théorèmes de Loewenheim-Skolem expliquent pourquoi les axiomatisations du premier ordre des nombres naturels ou des nombres réels admettent toujours des modèles non intentionnels, influençant ainsi le choix des cadres logiques.

History

Loewenheim a prouvé une version du théorème descendant en 1915 et Skolem l'a généralisé et affiné tout au long des années 1920. La compacité a été obtenue par Gödel comme corollaire de la complétude et étendue aux langages non dénombrables par Maltsev, qui l'a d'abord exploitée pour dériver des théorèmes algébriques, ouvrant la voie à la théorie des modèles appliquée.

Key figures

Leopold Loewenheim
Thoralf Skolem
Kurt Goedel
Anatoly Maltsev

Seminal works

changkeisler1990
marker2002
hodges1993

Frequently asked questions

Qu'est-ce qu'un modèle non standard de l'arithmétique ?: Par compacité, on peut ajouter aux axiomes de l'arithmétique une constante plus grande que chaque numéral ; la théorie cohérente résultante a un modèle contenant des éléments infinis au-delà des nombres naturels standard. De tels modèles satisfont exactement les mêmes phrases du premier ordre que le modèle standard.
Qu'est-ce que le paradoxe de Skolem ?: Le théorème de Loewenheim-Skolem descendant donne un modèle dénombrable de la théorie des ensembles, même si cette théorie prouve l'existence d'ensembles indénombrables. La résolution est que l'indénombrabilité est relative au modèle : un ensemble que le modèle considère comme indénombrable n'a pas de bijection avec les nombres naturels à l'intérieur du modèle, bien qu'une telle bijection existe à l'extérieur.