Équations de champ d'Einstein
Les équations de champ d'Einstein sont les équations fondamentales de la relativité générale, stipulant que la courbure de l'espace-temps, représentée par le tenseur d'Einstein, est proportionnelle à l'énergie et à l'impulsion de la matière, représentées par le tenseur énergie-impulsion.
Definition
Les équations de champ d'Einstein sont un ensemble de dix équations aux dérivées partielles couplées et non linéaires qui égalisent le tenseur de courbure d'Einstein (plus un terme de constante cosmologique) au tenseur énergie-impulsion, déterminant ainsi comment la matière et l'énergie courbent l'espace-temps.
Scope
Ce domaine couvre la forme et la signification des équations de champ, le tenseur d'Einstein et le tenseur énergie-impulsion, leur dérivation à partir de l'action d'Einstein-Hilbert, le rôle de la constante cosmologique, les lois de conservation qui y sont intégrées, et les solutions exactes, telles que les métriques de Schwarzschild et de Kerr, obtenues par l'imposition de symétries.
Sub-topics
Core questions
- Que disent les équations de champ d'Einstein sur la relation entre la matière et la géométrie ?
- Comment les équations sont-elles dérivées d'un principe variationnel ?
- Pourquoi sont-elles difficiles à résoudre, et comment les symétries rendent-elles les solutions exactes possibles ?
Key concepts
- Tenseur d'Einstein
- Tenseur énergie-impulsion
- Action d'Einstein-Hilbert
- Constante cosmologique
- Identités de Bianchi et conservation
- Solutions exactes
Key theories
- Équations de champ d'Einstein
- Le tenseur d'Einstein, une combinaison spécifique de la courbure de Ricci et de la métrique, est égal à une constante multipliée par le tenseur énergie-impulsion, de sorte que la distribution de l'énergie et de l'impulsion détermine la courbure de l'espace-temps, tandis que la conservation locale de l'énergie-impulsion est automatiquement intégrée.
- Action d'Einstein-Hilbert
- La variation de l'intégrale du scalaire de Ricci sur l'espace-temps, ainsi que de l'action de la matière, produit les équations de champ, leur conférant ainsi un fondement variationnel analogue aux principes d'action d'autres théories physiques.
Clinical relevance
La résolution des équations de champ permet d'obtenir toutes les prédictions quantitatives de la gravité relativiste : les métriques décrivant les trous noirs, les modèles cosmologiques d'univers en expansion, les gabarits d'ondes gravitationnelles utilisés par les détecteurs, et les environnements à champ intense autour des étoiles à neutrons et des objets compacts en accrétion.
History
Einstein est parvenu aux équations de champ finales en novembre 1915 après plusieurs années d'efforts, David Hilbert les ayant dérivées presque simultanément à partir d'un principe d'action ; en quelques mois, Schwarzschild a trouvé la première solution exacte, et des solutions exactes avec diverses symétries ont été cataloguées depuis lors.
Debates
- Localisation de l'énergie gravitationnelle
- Parce que le principe d'équivalence permet d'éliminer localement le champ gravitationnel par transformation, il n'existe pas de tenseur local universellement accepté pour la densité d'énergie gravitationnelle ; seules des définitions quasi-locales et globales existent, ce qui constitue une subtilité conceptuelle persistante de la théorie.
Key figures
- Albert Einstein
- David Hilbert
- Karl Schwarzschild
- Roy Kerr
Related topics
Seminal works
- einstein1916
- mtw1973
Frequently asked questions
- Pourquoi les équations d'Einstein sont-elles si difficiles à résoudre ?
- Ce sont dix équations aux dérivées partielles couplées et non linéaires dans lesquelles la géométrie réagit à la matière et l'influence, de sorte que les solutions analytiques n'existent que sous de fortes hypothèses de symétrie ; les situations générales nécessitent la relativité numérique sur des superordinateurs.
- Quel est le rôle de la constante cosmologique dans les équations ?
- La constante cosmologique est un terme supplémentaire autorisé, proportionnel à la métrique, qui agit comme une énergie uniforme de l'espace vide ; introduite par Einstein pour un univers statique et réactivée plus tard pour expliquer l'accélération cosmique, elle est le candidat le plus simple pour l'énergie sombre.