Foncteurs Adjoints

Les foncteurs adjoints sont des paires de foncteurs liés par une correspondance naturelle entre les morphismes, un schéma omniprésent qui englobe les constructions libres, les foncteurs d'oubli et les solutions optimales dans l'ensemble des mathématiques.

Definition

Un foncteur est adjoint à gauche d'un foncteur dans la direction opposée lorsqu'il existe une bijection naturelle entre les morphismes d'un objet de la source vers l'image d'un objet et les morphismes de son image vers cet objet ; cette relation unique encode une propriété universelle pour chaque objet.

Scope

Ce sujet aborde la définition d'une adjonction par une bijection naturelle des ensembles de morphismes (hom-sets), les formulations équivalentes via l'unité et la co-unité et via les flèches universelles, la préservation des limites par les adjoints droits et des colimites par les adjoints gauches, les théorèmes des foncteurs adjoints, et le lien entre les adjonctions et les monades.

Core questions

• Quelle correspondance naturelle définit une adjonction entre deux foncteurs ?
• Comment l'unité et la co-unité encodent-elles l'adjonction ?
• Pourquoi les adjoints droits préservent-ils les limites et les adjoints gauches les colimites ?
• Quand un foncteur possède-t-il un adjoint ?

Key theories

Adjonction par ensembles de morphismes (hom-sets)

Une adjonction est un isomorphisme naturel entre deux foncteurs hom, ainsi, chaque adjoint gauche fournit la solution libre ou la plus efficace à un problème posé par l'adjoint droit.

Unité, co-unité et identités triangulaires

Une adjonction est donnée de manière équivalente par des transformations naturelles d'unité et de co-unité satisfaisant les identités triangulaires, une description bien adaptée au calcul et à la définition des monades.

Préservation des limites et des colimites

Les adjoints droits préservent toutes les limites et les adjoints gauches préservent toutes les colimites, un fait qui explique de nombreuses propriétés de continuité et d'exactitude et qui étaye les théorèmes des foncteurs adjoints fournissant des critères d'existence.

Clinical relevance

Les adjonctions figurent parmi les idées les plus unificatrices en mathématiques : les groupes libres, les relations tenseur-hom, la compactification de Stone-Čech et la relation entre la syntaxe et la sémantique en logique sont toutes des adjonctions, et en reconnaître une permet d'obtenir immédiatement des propriétés universelles et des résultats de préservation, ce qui explique pourquoi les théoriciens des catégories considèrent l'adjonction comme le concept central.

History

Daniel Kan a introduit les foncteurs adjoints en 1958, reconnaissant le schéma récurrent reliant les foncteurs libres et d'oubli ainsi que d'autres constructions duales. Lawvere a souligné le caractère fondamental des adjonctions, y compris l'adjonction entre la syntaxe et la sémantique, et les théorèmes des foncteurs adjoints de Freyd ont fourni des conditions générales pour l'existence d'adjoints.

Key figures

• Daniel Kan
• Saunders Mac Lane
• F. William Lawvere
• Peter Freyd

Seminal works

• maclane1998
• awodey2010
• riehl2016

Frequently asked questions

Quel est un exemple familier d'adjonction ?

Le foncteur groupe libre est adjoint à gauche du foncteur qui oublie la structure de groupe d'un groupe pour son ensemble sous-jacent. Les applications d'un ensemble vers un groupe correspondent naturellement aux homomorphismes du groupe libre sur cet ensemble, ce qui constitue précisément la bijection d'adjonction.

Pourquoi les mathématiciens disent-ils que les foncteurs adjoints apparaissent partout ?

Les constructions libres, les complétions, les produits et les exponentielles, ainsi que de nombreuses relations entre une structure et une version simplifiée de celle-ci, sont des adjonctions. Le schéma est si courant que repérer une adjonction est souvent le moyen le plus rapide d'accéder à la propriété universelle d'une construction et à sa préservation des limites ou des colimites.