Systèmes Modaux et Leurs Axiomes

Différents axiomes modaux encodent différentes conceptions de la nécessité, et chacun correspond à une condition structurelle sur la relation d'accessibilité.

Definition

Un système modal normal est un ensemble de théorèmes clos sous les règles de la logique classique, plus l'axiome de distribution K et la règle de nécessitation, des systèmes plus forts étant obtenus en ajoutant des axiomes caractéristiques qui correspondent aux propriétés de la relation d'accessibilité.

Scope

Ce sujet aborde la hiérarchie standard des systèmes modaux normaux construits sur le système de base K par l'ajout d'axiomes tels que T (réflexivité), 4 (transitivité), B (symétrie) et 5 (euclidianité), donnant lieu à des systèmes comme T, S4 et S5. Il traite de la théorie de la correspondance — l'adéquation systématique entre les axiomes modaux et les conditions de cadre — ainsi que de la correction (soundness), de la complétude (completeness) et de la question de savoir quel système capture le mieux la nécessité métaphysique, logique ou épistémique.

Core questions

• Quels axiomes devraient régir un type de nécessité donné ?
• Comment les axiomes modaux correspondent-ils aux conditions sur la relation d'accessibilité ?
• S5 est-il la logique appropriée de la nécessité métaphysique, ou un système plus faible est-il plus adéquat ?
• Que révèlent les résultats de correction (soundness) et de complétude (completeness) pour ces systèmes ?

Key concepts

• système K et nécessitation
• axiomes T, 4, B, 5
• cadres réflexifs, transitifs, symétriques, euclidiens
• théorie de la correspondance
• S4 et S5
• complétude via les modèles canoniques

Key theories

Théorie de la correspondance

Chaque axiome modal caractéristique correspond à une propriété de la relation d'accessibilité — T à la réflexivité, 4 à la transitivité, B à la symétrie, 5 à l'euclidianité — de sorte qu'un système est correct (sound) et complet (complete) par rapport à la classe de cadres satisfaisant ces conditions.

Implication stricte et les systèmes de Lewis

C. I. Lewis a introduit les systèmes S1-S5 pour formaliser l'implication stricte et éviter les paradoxes de l'implication matérielle, fondant ainsi l'étude axiomatique moderne de la modalité.

History

Le Symbolic Logic de Lewis et Langford (1932) a introduit les systèmes S1-S5 de manière axiomatique. Après la sémantique relationnelle de Kripke, la théorie de la correspondance a révélé le lien systématique entre les axiomes et les conditions de cadre, et la complétude a été établie via des constructions de modèles canoniques, codifiées dans des manuels tels que Hughes et Cresswell.

Debates

Quel système capture la nécessité métaphysique ?

La question de savoir si la logique de la nécessité métaphysique est le système fort S5, selon lequel ce qui est possible est non-contingemment possible, ou un système plus faible qui permet à l'espace des possibilités lui-même de varier d'un monde à l'autre.

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

Quelle est la différence entre S4 et S5 ?

S4 ajoute l'axiome selon lequel ce qui est nécessaire est nécessairement nécessaire (accessibilité transitive). S5 ajoute en outre que ce qui est possible est nécessairement possible (la relation d'accessibilité devient une relation d'équivalence). Dans S5, le statut modal de toute proposition est lui-même non contingent, ce que beaucoup considèrent comme adapté à la nécessité métaphysique.