Distributions binomiale et de Poisson

Les distributions binomiale et de Poisson sont les deux distributions discrètes les plus utilisées en biostatistique. La binomiale décrit le nombre de succès dans un nombre fixe d'essais indépendants de type oui/non, tandis que la Poisson décrit le nombre d'événements survenant dans un intervalle fixe de temps ou d'espace lorsque les événements se produisent à un taux moyen constant. Toutes deux modélisent des dénombrements, qui sont omniprésents dans les données de santé.

Definition

La distribution binomiale donne la probabilité d'obtenir un nombre donné de succès dans un nombre fixe n d'essais indépendants, chacun avec une probabilité de succès p ; la distribution de Poisson donne la probabilité d'un nombre donné d'événements dans un intervalle fixe lorsque les événements se produisent indépendamment à un taux moyen constant.

Scope

Cette entrée couvre les hypothèses, les paramètres, la moyenne et la variance des distributions binomiale et de Poisson, les contextes que chacune décrit, la relation entre elles et leurs approximations normales. Elle illustre leur utilisation pour les proportions et les taux d'événements dans la recherche en santé. Il s'agit d'une référence méthodologique et non d'une directive clinique.

Core questions

• Quelles hypothèses définissent une situation binomiale par rapport à une situation de Poisson ?
• Comment la moyenne et la variance de chaque distribution sont-elles déterminées ?
• Quand la distribution de Poisson approxime-t-elle la binomiale ?
• Quand chacune peut-elle être approximée par la distribution normale ?

Key concepts

• Essai de Bernoulli
• Nombre d'essais n et probabilité de succès p
• Moyenne et variance binomiales
• Paramètre de taux de Poisson
• Égalité de la moyenne et de la variance de Poisson
• Approximation de Poisson à la binomiale
• Approximation normale
• Dénombrements, proportions et taux d'événements

Mechanisms

Une distribution binomiale résulte d'un nombre fixe n d'essais indépendants, chacun étant un essai de Bernoulli avec la même probabilité p de succès ; le nombre de succès a une moyenne np et une variance np(1-p). La distribution de Poisson apparaît comme la limite de la binomiale lorsque n est grand et p petit, tandis que leur produit (le nombre attendu) reste modéré, de sorte qu'elle modélise les événements rares sur de nombreuses opportunités ; elle a un seul paramètre égal à la fois à sa moyenne et à sa variance, reflétant des événements se produisant à un taux constant. Lorsque n est grand, ou lorsque la moyenne de Poisson est grande, les deux distributions peuvent être approximées par une distribution normale, c'est pourquoi les méthodes pour les proportions et les taux empruntent souvent des intervalles de confiance et des tests basés sur la loi normale. Dans la recherche en santé, la binomiale sous-tend l'analyse des proportions, comme le nombre de patients répondant à un traitement, tandis que la Poisson sous-tend les dénombrements et les taux d'incidence, comme le nombre de nouveaux cas dans une population sur une période donnée.

Clinical relevance

Les modèles binomial et de Poisson sous-tendent l'analyse des proportions et des taux d'événements rapportés dans toute la littérature en santé, ainsi, reconnaître lequel s'applique aide à la lecture critique des résultats sur les taux de réponse et l'incidence des maladies. Cette entrée est méthodologique et ne constitue pas une directive pour les soins individuels.

Epidemiology

La distribution de Poisson est le modèle naturel pour les dénombrements d'événements relativement rares s'accumulant sur la personne-temps, et elle est donc fondamentale pour l'analyse des taux d'incidence en épidémiologie ; la binomiale sous-tend l'analyse des risques et des proportions, comme l'incidence cumulative dans un groupe fermé.

History

La distribution binomiale a été étudiée par Jacob Bernoulli dans son analyse des essais répétés publiée en 1713, et de Moivre en a ensuite dérivé son approximation normale. Siméon Denis Poisson a introduit la distribution portant son nom en 1837 comme une limite de la binomiale pour les événements rares. Toutes deux sont devenues des outils standards pour la modélisation des dénombrements lorsque les statistiques ont été appliquées à la médecine et à la santé publique.

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Siméon Denis Poisson
• Abraham de Moivre

Seminal works

• rosner-2015
• armitage-2002
• ross-2014

Frequently asked questions

Comment savoir s'il faut utiliser un modèle binomial ou de Poisson ?

Utilisez la binomiale lorsqu'il y a un nombre fixe d'essais indépendants de type oui/non et que vous comptez les succès ; utilisez la Poisson lorsque vous comptez des événements survenant sur un intervalle continu de temps ou d'espace à un taux à peu près constant, sans nombre fixe d'essais.

Pourquoi la moyenne de la distribution de Poisson est-elle égale à sa variance ?

Cela découle de la structure de la distribution en tant que limite de la binomiale pour les événements rares ; cette égalité est également une vérification pratique, car les données de dénombrement dont la variance dépasse largement leur moyenne (surdispersion) peuvent ne pas correspondre à un modèle de Poisson simple.