فضاهای توپولوژیک و پیوستگی
یک فضای توپولوژیک، نزدیکی نقاط به یکدیگر را از طریق خانوادهای از مجموعههای باز کدگذاری میکند، و یک نگاشت پیوسته نگاشتی است که به این نزدیکی احترام میگذارد — مجموعههای باز را به مجموعههای باز برمیگرداند.
Definition
یک فضای توپولوژیک یک مجموعه X همراه با یک توپولوژی است — خانوادهای از زیرمجموعههای باز که تحت اجتماعهای دلخواه و اشتراکهای متناهی بسته است و شامل مجموعه تهی و X میشود؛ یک تابع بین فضاهای توپولوژیک پیوسته است اگر تصویر وارون هر مجموعه باز، باز باشد، و یک همومورفیسم یک تابع دوسویی پیوسته با وارون پیوسته است.
Scope
این موضوع فضاهای توپولوژیک را از طریق اصول موضوعه مجموعههای باز و زبانهای معادل مجموعههای بسته، همسایگیها، بستار و فضای داخلی تعریف میکند. این موضوع مبناها و زیرمبناها را به عنوان روشهای اقتصادی برای تعیین یک توپولوژی، توپولوژیهای زیرفضا، ضرب و خارج قسمت، و مفاهیم اصلی پیوستگی، همومورفیسم و ناورداهای توپولوژیک توسعه میدهد. این موضوع همگرایی دنبالهها و شبکهها را در جایی که شهود متریک کارایی ندارد، بررسی میکند.
Core questions
- چگونه یک توپولوژی یکسان میتواند از مبناهای مختلفی ناشی شود، و چگونه توپولوژیها را بر اساس ظرافت مقایسه میکنیم؟
- پیوستگی در غیاب متریک به چه معناست، و چگونه از طریق بستارها و همسایگیها مشخص میشود؟
- چه زمانی دو فضا همومورفیک هستند، و کدام ویژگیها به عنوان ناوردا برای تمایز آنها عمل میکنند؟
- چگونه ساختارهای زیرفضا، ضرب و خارج قسمت، ویژگیهای توپولوژی والد را به ارث میبرند یا نمیبرند؟
Key concepts
- مجموعههای باز، مجموعههای بسته، همسایگیها، بستار و فضای داخلی
- مبنا و زیرمبنای تولیدکننده یک توپولوژی
- پیوستگی، همومورفیسم و ناورداهای توپولوژیک
- توپولوژیهای زیرفضا، ضرب و خارج قسمت
- همگرایی از طریق دنبالهها و شبکهها؛ نقش شمارشپذیری اول
Clinical relevance
این تعاریف نقطه ورود به هر ساختار بعدی در هندسه و توپولوژی هستند: منیفلدها فضاهای توپولوژیک محلی اقلیدسی هستند، هموتوپی و همولوژی بر روی نگاشتهای پیوسته عمل میکنند، و تحلیل بر روی فضاها بر این مفهوم پیوستگی استوار است.
History
تعریف مجموعه باز، فضاهای متریک فرشه (1906) و اصول همسایگی هاسدورف (1914) را تعمیم داد؛ فرمولبندی استاندارد کنونی بر حسب اجتماعهای دلخواه و اشتراکهای متناهی از طریق بورباکی و متون آمریکایی میانه قرن به هنجار کتابهای درسی تبدیل شد.
Key figures
- Felix Hausdorff
- Maurice Fréchet
- James Munkres
Related topics
Seminal works
- munkres2000
- kelley1955
Frequently asked questions
- آیا هر تابع دوسویی پیوسته یک همومورفیسم است؟
- خیر. یک تابع دوسویی پیوسته ممکن است وارون پیوسته نداشته باشد؛ یک همومورفیسم علاوه بر این نیازمند پیوستگی وارون است، که همین امر آن را به یک یکریختی فضاهای توپولوژیک تبدیل میکند.
- چرا شبکهها دنبالهها را در توپولوژی تعمیم میدهند؟
- در فضاهایی که شمارشپذیری اول نیستند، دنبالهها نمیتوانند تمام رفتارهای بستار و پیوستگی را تشخیص دهند؛ شبکهها (و به طور معادل فیلترها) همگرایی را بر روی مجموعههای جهتدار دلخواه فهرستبندی میکنند و نظریه کامل را بازیابی میکنند.