تقابل درجه دوم

قانون تقابل درجه دوم، که گاوس آن را قضیه طلایی نامید، به این موضوع می‌پردازد که آیا یک عدد اول p به پیمانه q یک مربع است یا خیر، و اینکه آیا q به پیمانه p یک مربع است یا خیر، و معیاری قدرتمند و به طور غیرمنتظره‌ای متقارن برای حل‌پذیری ارائه می‌دهد.

Definition

یک عدد صحیح، مانده درجه دوم به پیمانه یک عدد اول p است اگر با یک مربع کامل به پیمانه p همنهشت باشد. تقابل درجه دوم قضیه‌ای است که برای اعداد اول فرد متمایز p و q، حل‌پذیری x به توان دو همنهشت با q به پیمانه p را با حل‌پذیری x به توان دو همنهشت با p به پیمانه q مرتبط می‌کند.

Scope

این موضوع شامل مانده‌های درجه دوم و نامانده‌های درجه دوم به پیمانه یک عدد اول، معیار اویلر، نماد لژاندر و خاصیت ضربی آن، نماد ژاکوبی، دو قانون مکمل (برای منفی یک و برای دو)، و خود قانون اصلی تقابل، از جمله نقش آن به عنوان اولین نمونه از قوانین تقابل نظریه میدان رده (class field theory) است.

Core questions

• با توجه به یک عدد اول فرد p، کدام مانده‌ها مربع هستند و معیار اویلر چگونه این را تعیین می‌کند؟
• نمادهای لژاندر و ژاکوبی چگونه اطلاعات مانده را کدگذاری می‌کنند و چگونه به صورت ضربی عمل می‌کنند؟
• قانون تقابل دقیقاً چه چیزی را بیان می‌کند و مکمل‌ها چگونه با منفی یک و دو برخورد می‌کنند؟
• چرا تقابل درجه دوم به عنوان نمونه اولیه قوانین تقابل بالاتر نظریه میدان رده در نظر گرفته می‌شود؟

Key theories

معیار اویلر و نماد لژاندر

یک عدد صحیح a دقیقاً زمانی مانده درجه دوم به پیمانه یک عدد اول فرد p است که a به توان (p منهای یک)/۲ با یک همنهشت باشد؛ نماد لژاندر این علامت را ثبت می‌کند و در آرگومان بالایی خود کاملاً ضربی است.

قانون تقابل درجه دوم

برای اعداد اول فرد متمایز p و q، حاصل ضرب دو نماد لژاندر برابر با منفی یک به توان ((p منهای یک)/۲)((q منهای یک)/۲) است، بنابراین تقابل تنها زمانی برقرار نیست که هر دو عدد اول با سه به پیمانه چهار همنهشت باشند.

قوانین مکمل و نماد ژاکوبی

قوانین جداگانه تعیین می‌کنند که چه زمانی منفی یک و دو مانده هستند، و نماد ژاکوبی نماد لژاندر را به پیمانه‌های مرکب تعمیم می‌دهد و امکان محاسبه کارآمد بدون فاکتورگیری را فراهم می‌کند.

Clinical relevance

تقابل و نماد ژاکوبی الگوریتم‌های سریعی را برای تصمیم‌گیری در مورد مانده درجه دوم بودن ارائه می‌دهند که در آزمون‌های اول بودن (سولووی-استراسن)، در محاسبه ریشه‌های مربع به پیمانه اعداد اول، و در طرح‌های رمزنگاری که امنیت آن‌ها بر فرض مانده درجه دوم بودن استوار است، استفاده می‌شوند.

History

این قانون که توسط اویلر و لژاندر حدس زده شد، اولین بار به طور کامل توسط گاوس در سال ۱۷۹۶ اثبات شد. او بارها به آن بازگشت و هشت اثبات مختلف ارائه داد؛ اکنون بیش از دویست اثبات شناخته شده است. تعمیم آن به توان‌های بالاتر، انگیزه آیزنشتاین، کومر و در نهایت قوانین تقابل نظریه میدان رده را فراهم آورد.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Adrien-Marie Legendre
• Leonhard Euler

Seminal works

• irelandRosen1990

Frequently asked questions

چرا گاوس یک قضیه را هشت بار اثبات کرد؟

هر اثبات ساختارهای متفاوتی (جمع‌های گاوس، شمارش نقاط شبکه‌ای، سیکلوتومی) را روشن می‌کرد، و گاوس به دنبال اثباتی بود که به قوانین تقابل بالاتر تعمیم یابد، که همین امر بعداً توسعه نظریه اعداد جبری را به پیش برد.

تفاوت بین نمادهای لژاندر و ژاکوبی چیست؟

نماد لژاندر برای یک پیمانه اول فرد تعریف شده و دقیقاً مانده‌های درجه دوم را تشخیص می‌دهد؛ نماد ژاکوبی آن را برای پیمانه‌های مرکب فرد برای محاسبه تعمیم می‌دهد، اما مقدار یک دیگر تضمین نمی‌کند که عدد یک مانده است.