نظریه میدان ردهای
نظریه میدان ردهای اوج دستاوردهای نظریه جبری اعداد است: این نظریه تمام توسیعهای آبلی یک میدان عددی را بر حسب محاسبات خود میدان طبقهبندی میکند و قانون تقابل مربعی را به یک قانون تقابل فراگیر تعمیم میدهد.
Definition
نظریه میدان ردهای یک تناظر بین توسیعهای آبلی متناهی یک میدان عددی و گروههای خارج قسمتی خاصی از گروه رده ایدل (idele class group) آن (یا گروههای رده ایدهآل تعمیمیافته) برقرار میکند، به طوری که نگاشت تقابل آرتین یک یکریختی کانونی را بر روی گروه گالوا هر توسیع فراهم میآورد.
Scope
این موضوع قضایای اصلی نظریه میدان ردهای را در فرمولبندیهای کلاسیک و ایدلیک آنها پوشش میدهد: قانون تقابل آرتین و نگاشت آرتین از گروههای رده ایدهآل تعمیمیافته به گروههای گالوا، قضیه وجودی که زیرگروههای همنهشتی را با توسیعهای آبلی مطابقت میدهد، رساناها، میدان ردهای هیلبرت به عنوان حداکثر توسیع آبلی بدون شاخه، قضیه کرونکر-وبر که توسیعهای آبلی اعداد گویا را در میدانهای سیکلوتومیک محقق میسازد، و نقش نظریه میدان ردهای موضعی.
Core questions
- چگونه نگاشت آرتین دادههای حسابی را به خودریختیهای گالوا میفرستد و چرا این یک قانون تقابل است؟
- کدام زیرگروههای گروه رده ایدل با کدام توسیعهای آبلی مطابقت دارند (قضیه وجودی)؟
- میدان ردهای هیلبرت چیست و چگونه گروه گالوا آن گروه رده ایدهآل را بازیابی میکند؟
- قضیه کرونکر-وبر چگونه هر توسیع آبلی اعداد گویا را توصیف میکند؟
Key theories
- تقابل آرتین
- برای یک توسیع آبلی، نگاشت آرتین که هر عدد اول بدون شاخه را به فروبنیوس آن میفرستد، به یک یکریختی از یک گروه رده ایدهآل تعمیمیافته بر روی گروه گالوا تعمیم مییابد که تعمیم بسیار گستردهای از تقابل مربعی است.
- قضیه وجودی و میدان ردهای هیلبرت
- هر زیرگروه باز با اندیس متناهی در گروه رده ایدل، گروه نرم یک توسیع آبلی منحصر به فرد است؛ میدان ردهای هیلبرت حداکثر توسیع بدون شاخه است که گروه گالوا آن به طور کانونی گروه رده ایدهآل است.
- قضیه کرونکر-وبر
- هر توسیع آبلی متناهی از اعداد گویا در یک میدان سیکلوتومیک تولید شده توسط ریشههای واحد قرار دارد، که اولین و نمونه اولیه نظریه میدان ردهای صریح است.
Clinical relevance
نظریه میدان ردهای چارچوب برنامه لنگلندز و نتایج پیمانهای پشت اثبات قضیه آخر فرما را تشکیل میدهد؛ اشکال صریح آن، از جمله ضرب مختلط، همچنین ساختارهایی را که در رمزنگاری مبتنی بر خم بیضوی و ایزوژنی استفاده میشوند، هدایت میکند.
History
هیلبرت وجود میدان ردهای را حدس زد و مسائل راهنما را حدود سال ۱۹۰۰ مطرح کرد. تاکاگی قضیه وجودی را در سال ۱۹۲۰ اثبات کرد، آرتین قانون تقابل را در سال ۱۹۲۷ برقرار ساخت، و معرفی ایدلها توسط شواله در دهه ۱۹۳۰ شکل آدلیک مدرن را به این نظریه بخشید و زمینه را برای برنامه لنگلندز فراهم آورد.
Key figures
- David Hilbert
- Teiji Takagi
- Emil Artin
- Helmut Hasse
Related topics
Seminal works
- cox2013
Frequently asked questions
- نظریه میدان ردهای چه ارتباطی با تقابل مربعی دارد؟
- تقابل مربعی سادهترین حالت است: این نظریه توسیع آبلی حاصل از افزودن یک ریشه دوم را توصیف میکند، و تقابل آرتین آن را به تمام توسیعهای آبلی هر میدان عددی تعمیم میدهد.
- میدان ردهای هیلبرت چیست؟
- این بزرگترین توسیع آبلی یک میدان عددی است که در همه جا بدون شاخه است؛ گروه گالوا آن به طور طبیعی با گروه رده ایدهآل میدان یکریخت است، بنابراین درجه آن برابر با عدد رده است.