قضیه آخر فرما

قضیه آخر فرما بیان می‌کند که هیچ سه عدد صحیح مثبتی در معادله a به توان n به علاوه b به توان n برابر با c به توان n برای هیچ توان n بزرگتر از دو صدق نمی‌کنند — ادعایی که برای بیش از سه قرن اثبات نشده باقی ماند تا اینکه از طریق مدولاریته منحنی‌های بیضوی حل شد.

Definition

قضیه آخر فرما بیانی است که معادله x به توان n به علاوه y به توان n برابر با z به توان n هیچ راه‌حلی در اعداد صحیح مثبت x، y، z ندارد، هرگاه توان صحیح n بزرگتر از دو باشد.

Scope

این موضوع شامل بیان قضیه آخر فرما، تقلیل آن به توان‌های اول و به منحنی فرما، پیشرفت کومر در قرن نوزدهم با استفاده از اعداد ایده‌آل و اعداد اول منظم، منحنی فری مرتبط با یک راه‌حل فرضی، حدس اپسیلون که توسط ریبت اثبات شد و آن را به مدولاریته پیوند می‌دهد، و اثبات وایلز از مدولاریته منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار که استدلال را به پایان می‌رساند، می‌شود.

Core questions

• چرا اثبات قضیه برای توان‌های اول و برای توان چهار کافی است؟
• روش‌های کلاسیک، به ویژه نظریه اعداد ایده‌آل و اعداد اول منظم کومر، تا چه حد این مسئله را پیش بردند؟
• چگونه منحنی فری یک راه‌حل فرضی فرما را به یک منحنی بیضوی با ویژگی‌های غیرممکن تبدیل می‌کند؟
• چگونه قضیه ریبت و قضیه مدولاریته برای تکمیل اثبات ترکیب می‌شوند؟

Key theories

اعداد اول منظم کومر

کومر قضیه آخر فرما را برای تمام توان‌های اول منظم با استفاده از اعداد ایده‌آل اثبات کرد و در این فرآیند سازوکار گروه کلاسی نظریه اعداد جبری را معرفی نمود.

منحنی فری و قضیه ریبت

یک راه‌حل غیربدیهی فرما منجر به منحنی بیضوی فری می‌شود که ریبت اثبات کرد نمی‌تواند مدولار باشد؛ بنابراین مدولاریته چنین منحنی‌هایی معادله فرما را مجبور به نداشتن راه‌حل می‌کند.

قضیه مدولاریته (وایلز-تیلور)

وایلز، با همکاری تیلور، اثبات کرد که منحنی‌های بیضوی گویا نیمه‌پایدار مدولار هستند، که با وجود منحنی فری در تناقض است و بدین ترتیب قضیه آخر فرما را اثبات می‌کند.

Clinical relevance

اگرچه خود این قضیه کاربرد مستقیمی ندارد، اما سازوکار اثبات آن — نمایش‌های گالوا، نظریه تغییر شکل، و بالابردن مدولاریته — به فناوری اصلی در برنامه لنگلندز و در روش‌های هندسه حسابی تبدیل شد که رمزنگاری منحنی بیضوی را نیز تحت تأثیر قرار می‌دهد.

History

فرما این ادعا را حدود سال ۱۶۳۷ در حاشیه نسخه خود از دیوفانتوس ثبت کرد و ادعا کرد که اثباتی دارد که هرگز آن را ننوشت. اویلر، سوفی ژرمن، و کومر بسیاری از موارد را در طول دو قرن بعد حل کردند؛ فری، سر، و ریبت آن را در دهه ۱۹۸۰ به مدولاریته تقلیل دادند، و وایلز در سال ۱۹۹۳ اثباتی را اعلام کرد که در سال ۱۹۹۴ با تیلور تکمیل شد و در سال ۱۹۹۵ منتشر گردید.

Key figures

• Pierre de Fermat
• Ernst Kummer
• Ken Ribet
• Andrew Wiles

Seminal works

• wiles1995
• wiles1995

Frequently asked questions

آیا فرما واقعاً اثباتی داشت؟

تقریباً به طور قطع یک اثبات کلی صحیح نداشت. روش‌های مورد نیاز تنها در قرن بیستم توسعه یافتند، و هر استدلال قرن هفدهمی به مفروضاتی، مانند تجزیه یکتا، که در حلقه‌های مربوطه شکست می‌خورند، متکی بود.

چگونه یک معادله در مورد توان‌ها به منحنی‌های بیضوی مرتبط است؟

یک راه‌حل فرضی را می‌توان در منحنی بیضوی فری گنجاند؛ خواص حسابی آن با قضیه مدولاریته در تناقض خواهد بود، بنابراین مدولاریته منحنی‌های بیضوی معادله اصلی را غیرقابل حل می‌کند.