همنهشتیها و حساب پیمانهای
حساب پیمانهای به مطالعه اعداد صحیح تا حد بخشپذیری بر یک پیمانه ثابت میپردازد و اعداد صحیح را به حلقه متناهی Z/nZ تبدیل میکند و انعطافپذیرترین ابزار محاسباتی را در نظریه اعداد فراهم میآورد.
Definition
دو عدد صحیح به پیمانه n همنهشت هستند اگر تفاضل آنها بر n بخشپذیر باشد. حساب پیمانهای، حساب کلاسهای باقیمانده حاصل است که حلقه جابجایی Z/nZ را تشکیل میدهند.
Scope
این موضوع شامل رابطه همنهشتی و کلاسهای باقیمانده، حساب در Z/nZ، همنهشتیهای خطی و چندجملهای، قضیه باقیمانده چینی، قضیه کوچک فرما و قضیه اویلر، ساختار گروه یکاها، ریشههای اولیه و مرتبه عناصر است. این زبان، ابزاری است که بیشتر نظریه اعداد مقدماتی و محاسباتی با آن بیان میشود.
Core questions
- چه زمانی یک همنهشتی خطی ax همنهشت با b پیمانه n دارای جواب است و چند جواب دارد؟
- چگونه قضیه باقیمانده چینی Z/nZ را به حاصلضرب پیمانههای توان اول تجزیه میکند؟
- چرا قضیه کوچک فرما و قضیه اویلر برقرار هستند و چه چیزی در مورد مرتبه یکاها میگویند؟
- برای کدام پیمانهها ریشه اولیه وجود دارد که گروه یکاها را چرخهای میکند؟
Key theories
- قضیه باقیمانده چینی
- اگر پیمانهها دو به دو نسبت به هم اول باشند، یک دستگاه همنهشتیهای همزمان دارای یک جواب یکتا به پیمانه حاصلضرب است؛ به طور معادل Z/nZ با حاصلضرب Z بر عوامل توان اول آن یکریخت است.
- قضیه کوچک فرما و قضیه اویلر
- برای a که نسبت به n اول است، a به توان تابع فی اویلر n با یک به پیمانه n همنهشت است؛ حالت اول (فرما) زیربنای آزمونهای اول بودن و حالت کلی زیربنای RSA است.
- ریشههای اولیه و ساختار گروه
- گروه ضربی یکاها به پیمانه n دقیقاً زمانی چرخهای است که n یک، دو، چهار، یک توان اول فرد، یا دو برابر یک توان اول فرد باشد؛ یک مولد، ریشه اولیه است که لگاریتم گسسته را فراهم میکند.
Clinical relevance
حساب پیمانهای موتور محاسباتی رمزنگاری (RSA، دیفی-هلمن، طرحهای منحنی بیضوی)، مجموعهای کنترلی و تشخیص خطا (ISBN، توابع هش) و تولید اعداد شبهتصادفی است که آن را به پرکاربردترین بخش نظریه اعداد تبدیل میکند.
History
اگرچه موارد خاصی در ریاضیات باستانی چین و هند (مسئله باقیمانده که به نام اولی نامگذاری شده است) ظاهر میشوند، نظریه سیستماتیک همنهشتیها توسط گاوس در کتاب Disquisitiones Arithmeticae (1801) معرفی شد، جایی که او نمادگذاری را بنیان نهاد و نتایج ساختاری اصلی را اثبات کرد.
Key figures
- Carl Friedrich Gauss
- Pierre de Fermat
- Leonhard Euler
Related topics
Seminal works
- irelandRosen1990
Frequently asked questions
- نماد a همنهشت با b پیمانه n به چه معناست؟
- به این معنی است که n تفاضل a منهای b را میشمارد، به طور معادل a و b باقیمانده یکسانی را در تقسیم بر n باقی میگذارند.
- چرا RSA به قضیه اویلر متکی است؟
- رمزگذاری و رمزگشایی RSA توانرسانیهای پیمانهای هستند که ترکیب آنها دقیقاً به این دلیل پیام اصلی را بازمیگرداند که قضیه اویلر تضمین میکند توان مربوطه به عنوان همانی به پیمانه کلید عمل میکند.