منحنیها و سطوح پارامتری
منحنیها و سطوح پارامتری، اشکال آزاد و هموار را به عنوان توابعی از یک یا دو پارامتر نمایش میدهند و توصیفات فشرده و قابل کنترلی از هندسه را در اختیار طراحان قرار میدهند.
Definition
یک منحنی یا سطح پارامتری، یک بازه یا مستطیل از مقادیر پارامتر را به نقاطی در فضا نگاشت میکند، معمولاً به صورت ترکیبی وزنی از نقاط کنترلی با استفاده از توابع پایه چندجملهای یا گویا.
Scope
این موضوع شامل منحنیهای بزیه (Bezier) و الگوریتم دو کاستلژو (de Casteljau)، نمایشهای B-اسپلاین (B-spline) و NURBS با بردارهای گرهی (knot vectors) و کنترل محلی آنها، شرایط پیوستگی بین قطعات، و ساختار حاصلضرب تانسوری (tensor-product) است که این منحنیها را به سطوح تعمیم میدهد.
Core questions
- چگونه میتوان یک منحنی هموار را از طریق چند نقطه کنترلی مشخص و ویرایش کرد؟
- چه پیوستگی در محل اتصال قطعات منحنی یا سطح برقرار است؟
- چرا اشکال گویا مانند NURBS مورد نیاز هستند؟
- چگونه ساختارهای منحنی به سطوح تعمیم مییابند؟
Key concepts
- منحنیهای بزیه
- الگوریتم دو کاستلژو
- B-اسپلاینها و بردارهای گرهی
- NURBS
- پیوستگی هندسی و پارامتری
- سطوح حاصلضرب تانسوری
Key theories
- منحنیهای بزیه و ارزیابی دو کاستلژو
- یک منحنی بزیه ترکیبی از چندجملهای برنشتاین (Bernstein-polynomial) از نقاط کنترلی خود است که به طور پایدار با درونیابی خطی مکرر ارزیابی میشود، و منحنی در داخل پوش محدب (convex hull) چندضلعی کنترلی خود قرار گرفته و مماس بر آن است.
- B-اسپلاینها و NURBS
- B-اسپلاینها کنترل محلی و همواری قابل تنظیم را از طریق یک بردار گرهی فراهم میکنند، و تعمیم گویای آنها، NURBS، میتواند مقاطع مخروطی را به طور دقیق نمایش دهد، که آن را به استاندارد در طراحی به کمک کامپیوتر تبدیل کرده است.
Clinical relevance
منحنیها و سطوح پارامتری ستون فقرات هندسی طراحی به کمک کامپیوتر (CAD)، طرحهای کلی فونت و گرافیک برداری، مسیرهای انیمیشن، و طراحی سطح صنعتی در مهندسی خودرو و هوافضا هستند.
History
این روشها که به طور مستقل توسط بزیه در رنو و دو کاستلژو در سیتروئن در اوایل دهه 1960 توسعه یافتند، با نظریه B-اسپلاین دو بور (de Boor) یکپارچه و گسترش یافتند و به عنوان NURBS در سیستمهای CAD استاندارد شدند.
Key figures
- Pierre Bezier
- Paul de Casteljau
- Carl de Boor
Related topics
Seminal works
- farin2002
- piegl1997
Frequently asked questions
- چرا منحنیهای بزیه اینقدر پرکاربرد هستند؟
- آنها توسط مجموعه کوچکی از نقاط کنترلی تعریف میشوند که به طور شهودی منحنی را شکل میدهند، ارزیابی آنها آسان و از نظر عددی پایدار است، و در داخل پوش محدب کنترلهای خود باقی میمانند، که ویرایش آنها را قابل پیشبینی میکند.
- N در NURBS چه چیزی را نسبت به B-اسپلاینهای ساده اضافه میکند؟
- B-اسپلاینهای گویای غیریکنواخت (Non-uniform rational B-splines) از وزنها و توابع پایه گویا استفاده میکنند، که به آنها امکان میدهد دایرهها، بیضیها و سایر مقاطع مخروطی را به طور دقیق نمایش دهند، کاری که B-اسپلاینهای چندجملهای نمیتوانند انجام دهند.