حساب اعداد اصلی و ترتیبی
حساب اعداد اصلی (کاردینال) و ترتیبی (اوردینال) مفاهیم شمارش و ترتیب را به بینهایت گسترش میدهند و دو معیار مکمل برای اندازه و موقعیت ترامتناهی ارائه میکنند.
Definition
عدد ترتیبی (اوردینال) مجموعهای متعدی است که توسط عضویت خوشترتیب شده و نمایانگر یک نوع ترتیب است؛ عدد اصلی (کاردینال) عددی ترتیبی است که با هیچ عدد ترتیبی کوچکتر از خود یک به یک نیست و نمایانگر یک اندازه است. حساب آنها عملیات جمع، ضرب و توان را تعریف میکند که عملیات متناهی را به ترامتناهی گسترش میدهد.
Scope
این موضوع شامل اعداد ترتیبی به عنوان مجموعههای خوشترتیب متعارف و حساب غیرجابجایی آنها، اعداد اصلی به عنوان معیارهای اندازه و حساب آنها تحت اصل انتخاب، سلسلهمراتب الف و بث، همنهایی، و نتایجی مانند قضیه کانتور و قضیه کوئنیگ میشود.
Core questions
- اعداد ترتیبی چگونه هر خوشترتیبی را تا حد یکریختی کدگذاری میکنند؟
- چرا حساب اعداد ترتیبی غیرجابجایی است در حالی که حساب اعداد اصلی اینگونه نیست؟
- اعداد اصلی نامتناهی چگونه جمع، ضرب و به توان میرسند؟
- همنهایی و قضیه کوئنیگ چه محدودیتهایی را بر توان کاردینال اعمال میکنند؟
Key theories
- قضیه کانتور
- برای هر مجموعه، مجموعه توانی آن دارای کاردینالیتهای به شدت بزرگتر است، بنابراین هیچ کاردینال بزرگتری وجود ندارد و سلسلهمراتب اندازههای نامتناهی هرگز پایان نمییابد.
- استقرا و بازگشت ترامتناهی
- خواص را میتوان اثبات کرد و توابع را میتوان بر روی تمام اعداد ترتیبی با استقرا و بازگشت در طول ترتیب ترتیبی تعریف کرد، که موتور فنی اصلی نظریه مجموعهها است.
- سلسلهمراتب الف و توان کاردینال
- تحت اصل انتخاب، کاردینالهای نامتناهی به عنوان الفها خوشترتیب هستند؛ جمع و ضرب کاردینالهای نامتناهی به حداکثر فرو میریزد، در حالی که توان توسط همنهایی و قضیه کوئنیگ اداره میشود و تا حد زیادی مستقل از ZFC باقی میماند.
Clinical relevance
حساب ترامتناهی زیربنای مقایسه مجموعههای نامتناهی در سراسر ریاضیات است، استدلالها را با استقرای ترامتناهی در جبر و تحلیل توجیه میکند، و سؤالات اصلی استقلال مانند مقدار پیوستار را چارچوببندی میکند.
History
کانتور هم اعداد ترتیبی و هم اعداد اصلی را در دهههای ۱۸۸۰ و ۱۸۹۰ معرفی کرد و ثابت کرد که اعداد حقیقی ناشمارا هستند و مجموعههای توانی به شدت کاردینالیته را افزایش میدهند. تعریف فون نویمان از اعداد ترتیبی به عنوان مجموعههای متعدی که توسط عضویت خوشترتیب شدهاند، فرمولبندی مدرن را ارائه داد، و هاوسدورف و کوئنیگ نتایج کلیدی را در مورد توان کاردینال و همنهایی تثبیت کردند.
Key figures
- Georg Cantor
- John von Neumann
- Felix Hausdorff
- Julius Koenig
Related topics
Seminal works
- jech2003
- enderton1977
- kunen2011
Frequently asked questions
- تفاوت بین عدد ترتیبی (اوردینال) و عدد اصلی (کاردینال) چیست؟
- عدد ترتیبی نوع ترتیب یک خوشترتیبی را ثبت میکند و آرایشهایی را که اندازه یکسان اما ساختار متفاوتی دارند، متمایز میکند، در حالی که عدد اصلی فقط اندازه را ثبت میکند. هر عدد اصلی یک عدد ترتیبی است، یعنی کوچکترین عدد ترتیبی با اندازه خود.
- چرا یک به علاوه امگا با امگا به علاوه یک تفاوت دارد؟
- جمع اعداد ترتیبی با الحاق انواع ترتیب تعریف میشود و به موقعیت حساس است. قرار دادن یک عنصر قبل از اعداد طبیعی، همان نوع ترتیب اعداد طبیعی را میدهد، در حالی که قرار دادن یک عنصر بعد از آنها، یک عنصر بزرگتر جدید اضافه میکند، بنابراین دو مجموع، اعداد ترتیبی متفاوتی هستند.