احتمال شرطی و استقلال

احتمال شرطی توصیف می‌کند که چگونه احتمال وقوع یک رویداد، پس از اطلاع از وقوع رویداد دیگر، تغییر می‌کند و استقلال، حالت خاصی را توصیف می‌کند که در آن اطلاع از یک رویداد، هیچ اطلاعاتی درباره رویداد دیگر به ما نمی‌دهد. این ایده‌ها، همراه با قضیه بیز، توضیح می‌دهند که چگونه شواهد، باورها را به‌روزرسانی می‌کنند و مبنای تفسیر تست‌های تشخیصی در پزشکی هستند.

Definition

احتمال شرطی رویداد A به شرط رویداد B، احتمالی است که A رخ می‌دهد وقتی B مشخص شده است که رخ داده است، و به صورت احتمال وقوع همزمان A و B تقسیم بر احتمال B تعریف می‌شود؛ A و B مستقل هستند اگر احتمال شرطی A به شرط B برابر با احتمال غیرشرطی A باشد.

Scope

این مدخل، تعریف احتمال شرطی، قاعده ضرب، استقلال آماری، قانون احتمال کل و قضیه بیز را پوشش می‌دهد. این مفاهیم را به ارزیابی تست‌های تشخیصی مرتبط می‌کند، جایی که ارزش پیش‌بینی‌کننده یک نتیجه به شیوع بیماری بستگی دارد. این یک مرجع روش‌شناختی است، نه راهنمایی بالینی در مورد تجویز یا عمل بر اساس تست‌های خاص.

Core questions

• چگونه اطلاع از یک رویداد، احتمال رویداد دیگر را تغییر می‌دهد؟
• چه زمانی دو رویداد مستقل هستند و این به چه معناست؟
• قضیه بیز چگونه یک احتمال شرطی را معکوس می‌کند؟
• چرا نتیجه مثبت آزمایش در شیوع‌های مختلف، معانی متفاوتی دارد؟

Key concepts

• احتمال شرطی
• قاعده ضرب
• استقلال آماری
• قانون احتمال کل
• قضیه بیز
• احتمال پیشین و پسین
• شیوع و ارزش پیش‌بینی‌کننده
• حساسیت و ویژگی

Mechanisms

شرطی کردن بر یک رویداد، توجه را به نتایج سازگار با آن محدود می‌کند، بنابراین احتمال شرطی A به شرط B، احتمال توأم A و B را با احتمال B مقیاس‌بندی مجدد می‌کند. دو رویداد مستقل هستند زمانی که این شرطی کردن، احتمال را بدون تغییر باقی می‌گذارد، که معادل با این است که احتمال توأم آن‌ها به حاصل‌ضرب احتمالات حاشیه‌ای تجزیه شود. قانون احتمال کل، احتمال یک رویداد را از احتمالات شرطی آن در سراسر یک افراز از فضای نمونه می‌سازد، و قضیه بیز یک احتمال شرطی را معکوس می‌کند و احتمال یک علت را با توجه به یک اثر مشاهده‌شده بر حسب احتمال شرطی معکوس و احتمال پیشین بیان می‌کند. در آزمایش‌های تشخیصی، به همین دلیل است که احتمال اینکه بیماری در بیمار با نتیجه مثبت واقعاً وجود داشته باشد (ارزش پیش‌بینی‌کننده) نه تنها به حساسیت و ویژگی آزمایش، بلکه به شیوع قبلی نیز بستگی دارد.

Clinical relevance

احتمال شرطی و قضیه بیز توضیح می‌دهند که چگونه نتیجه یک آزمایش، احتمال بیماری را بازبینی می‌کند، به همین دلیل است که آزمایش‌های یکسان در محیط‌های با شیوع بالا و پایین، مقادیر پیش‌بینی‌کننده متفاوتی را ارائه می‌دهند. این مدخل آن استدلال را به عنوان روش‌شناسی توضیح می‌دهد و راهنمایی برای مدیریت یک بیمار خاص نیست.

History

ایده به‌روزرسانی احتمالات در پرتو شواهد با توماس بیز مرتبط است، که مقاله او پس از مرگش توسط ریچارد پرایس در سال ۱۷۶۳ منتشر شد و توسط لاپلاس تعمیم یافت. قضیه بیز حاصله، در آمار و در قرن بیستم، در ارزیابی رسمی تست‌های تشخیصی، که حساسیت، ویژگی و شیوع را به ارزش پیش‌بینی‌کننده مرتبط می‌کند، محوری شد.

Key figures

• Thomas Bayes
• Richard Price
• Pierre-Simon Laplace

Seminal works

• bayes-1763
• altman-bland-1994-diagnostic
• ross-2014

Frequently asked questions

تفاوت بین احتمال شرطی و احتمال توأم چیست؟

احتمال توأم، شانس وقوع همزمان دو رویداد است، در حالی که احتمال شرطی، شانس وقوع یک رویداد به شرط وقوع رویداد دیگر است؛ احتمال شرطی برابر است با احتمال توأم تقسیم بر احتمال رویداد شرطی‌کننده.

چرا یک آزمایش تشخیصی مثبت همچنان می‌تواند به معنای بعید بودن بیماری باشد؟

بر اساس قضیه بیز، شانس بیماری پس از یک نتیجه مثبت به شیوع بستگی دارد؛ وقتی یک بیماری نادر است، حتی یک آزمایش دقیق نیز نسبت به موارد مثبت واقعی، موارد مثبت کاذب زیادی تولید می‌کند، بنابراین ارزش پیش‌بینی‌کننده یک نتیجه مثبت می‌تواند پایین باشد.