Pruebas Uniformemente Más Potentes

Una prueba uniformemente más potente es la más potente contra cada alternativa a la vez; tales pruebas existen para problemas unilaterales con razón de verosimilitud monótona y se buscan dentro de clases restringidas en otros casos.

Definition

Una prueba es uniformemente más potente a un tamaño dado si, entre todas las pruebas de ese tamaño, tiene la mayor potencia simultáneamente contra cada distribución en la hipótesis alternativa.

Scope

Este tema cubre las hipótesis compuestas, la propiedad de la razón de verosimilitud monótona y las familias que la poseen, la existencia de pruebas uniformemente más potentes para alternativas unilaterales, la no existencia de tales pruebas para alternativas bilaterales, y la restricción a pruebas insesgadas o invariantes que restaura la optimalidad, incluyendo las pruebas insesgadas uniformemente más potentes en familias exponenciales.

Core questions

• ¿Qué es la propiedad de la razón de verosimilitud monótona y qué familias la poseen?
• ¿Por qué existen pruebas uniformemente más potentes para alternativas unilaterales pero no para bilaterales?
• ¿Cómo la restricción a pruebas insesgadas recupera una prueba bilateral óptima?
• ¿Cómo la invarianza reduce un problema para que exista una prueba uniformemente más potente?

Key theories

Razón de verosimilitud monótona y pruebas unilaterales

Si la razón de verosimilitud es monótona en un estadístico, la prueba que rechaza para valores grandes de ese estadístico es uniformemente más potente para la alternativa unilateral correspondiente, extendiendo el lema de Neyman-Pearson a una alternativa compuesta.

Pruebas insesgadas uniformemente más potentes

Para alternativas bilaterales no existe una prueba uniformemente más potente, pero dentro de la clase de pruebas insesgadas sí existe una prueba óptima, y en las familias exponenciales toma una forma explícita de dos colas.

Clinical relevance

Las pruebas z y t unilaterales estándar utilizadas en ensayos y control de calidad son uniformemente más potentes para sus problemas, por lo que la teoría explica por qué estos procedimientos familiares no son meramente convencionales, sino óptimos entre las pruebas controladas por tamaño.

History

Basándose en el lema de Neyman-Pearson de 1933, Lehmann sistematizó las pruebas uniformemente más potentes, insesgadas e invariantes en su monografía de 1959 Testing Statistical Hypotheses, posteriormente revisada con Romano, que sigue siendo la referencia estándar.

Key figures

• Erich L. Lehmann
• Jerzy Neyman
• Egon Pearson
• Joseph P. Romano

Seminal works

• lehmannRomano2005

Frequently asked questions

¿Por qué no existe una prueba uniformemente más potente para alternativas bilaterales?

Porque la prueba más potente contra una alternativa en un lado difiere de la que se usa contra el otro lado, por lo que ninguna prueba única puede ser la más potente contra ambos a la vez; la restricción a pruebas insesgadas resuelve el conflicto.

¿Qué se obtiene con la propiedad de la razón de verosimilitud monótona?

Garantiza que una prueba unilateral simple basada en un único estadístico es uniformemente más potente, por lo que la optimalidad para toda la alternativa unilateral se sigue sin necesidad de verificar cada alternativa por separado.