Observables y Medición Cuántica

En mecánica cuántica, cada cantidad medible se representa mediante un operador hermítico cuyas autoenergías son los resultados posibles; una medición devuelve una autoenergía al azar, ponderada por la regla de Born, y deja el sistema en el autoestado correspondiente.

Definition

Un observable es un operador autoadjunto en el espacio de Hilbert del sistema cuyas autoenergías son los posibles resultados de la medición; la medición proyecta el estado sobre un autoespacio, devolviendo la autoenergía correspondiente con una probabilidad dada por la regla de Born.

Scope

El tema abarca los operadores hermíticos y autoadjuntos y sus espectros reales, la ecuación de autoenergía y la descomposición espectral, los valores esperados y su dependencia temporal, los observables conmutantes y los conjuntos completos de observables compatibles, el principio de incertidumbre para operadores no conmutantes y las mediciones generalizadas descritas por medidas con valores de operador positivos.

Core questions

• ¿Por qué los observables deben ser representados por operadores hermíticos?
• ¿Cómo se calculan el promedio y la dispersión de mediciones repetidas a partir del estado?
• ¿Cuándo se pueden medir dos observables simultáneamente con precisión arbitraria?
• ¿Qué dice el principio de incertidumbre sobre los observables incompatibles?

Key concepts

• operador hermítico
• autoenergía y autoestado
• valor esperado
• observables conmutantes
• conjunto completo de observables compatibles
• incertidumbre de Heisenberg

Key theories

Teorema espectral para observables

Un operador autoadjunto tiene autoenergías reales y una autobase ortonormal, por lo que cualquier observable puede descomponerse en una suma, o integral, de sus autoenergías multiplicadas por proyectores sobre los autoespacios correspondientes, que es exactamente la estructura que explota la medición.

Principio de incertidumbre

Para dos observables, el producto de las desviaciones estándar de sus mediciones en cualquier estado está acotado inferiormente por la mitad de la magnitud del valor esperado de su conmutador, por lo que las cantidades no conmutantes, como la posición y el momento, no pueden definirse con precisión simultáneamente.

Clinical relevance

La imagen del operador de la medición subyace a la espectroscopia, donde las energías medidas son autoenergías del operador, y a la metrología y tomografía cuánticas, donde los valores esperados y los conjuntos de observables compatibles determinan cuánta información sobre un estado se puede extraer; el principio de incertidumbre establece límites fundamentales a la precisión en la detección y la microscopía.

History

Heisenberg introdujo su relación de incertidumbre en 1927, y el mismo año el formalismo del operador tomó forma; el tratado de von Neumann de 1932 dio a la medición y a los operadores autoadjuntos una base rigurosa, y trabajos posteriores generalizaron las mediciones proyectivas a medidas con valores de operador positivos en información cuántica.

Debates

Interpretación del principio de incertidumbre

Si el principio de incertidumbre refleja una perturbación inevitable por parte del aparato de medición o una propiedad intrínseca de los estados cuánticos independiente de la medición ha sido objeto de debate desde Heisenberg; las relaciones modernas de medición-perturbación distinguen las dos nociones.

Key figures

• Werner Heisenberg
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Eugene Wigner

Seminal works

• vonneumann1955
• sakurai2017

Frequently asked questions

¿Por qué se exige que los observables sean hermíticos?

Los operadores hermíticos tienen autoenergías reales, lo que coincide con el requisito de que los resultados de la medición sean números reales, y poseen una autobase ortonormal completa que permite a la regla de Born asignar un conjunto consistente de probabilidades de resultado.

¿Se pueden medir dos observables al mismo tiempo?

Solo si sus operadores conmutan; los observables conmutantes comparten una autobase y se les pueden asignar valores definidos simultáneamente, mientras que los observables no conmutantes obedecen una relación de incertidumbre que prohíbe valores precisos simultáneos.