Esperanza Condicional
La esperanza condicional es la mejor predicción de una variable aleatoria dada la información en una sub-sigma-álgebra, definida abstractamente a través del teorema de Radon-Nikodym y comportándose como una proyección de promediado que respeta la información disponible.
Definition
La esperanza condicional de una variable aleatoria integrable dada una sub-sigma-álgebra es la función integrable única, salvo igualdad casi segura, que es medible con respecto a esa sub-sigma-álgebra y tiene la misma integral que la variable original sobre cada conjunto en ella.
Scope
El tema abarca la definición de esperanza condicional dada una sub-sigma-álgebra, su existencia y unicidad casi segura a través del teorema de Radon-Nikodym, las propiedades de la torre, de sacar lo conocido y de Jensen condicional, la interpretación como una proyección ortogonal en el espacio de variables integrables al cuadrado, la probabilidad condicional y las distribuciones condicionales regulares, y el papel del condicionamiento como el motor de las martingalas y la actualización bayesiana.
Core questions
- ¿Cómo se puede condicionar la esperanza a información que puede incluir eventos de probabilidad cero?
- ¿Por qué la esperanza condicional es única solo hasta un conjunto nulo casi seguro?
- ¿En qué sentido es la esperanza condicional el mejor predictor de una variable aleatoria?
- ¿Cómo las propiedades de la torre y de sacar lo conocido hacen que la esperanza condicional sea manejable?
Key concepts
- sigma-álgebra de condicionamiento
- derivada de Radon-Nikodym
- propiedad de la torre
- proyección de mínimos cuadrados
- distribución condicional regular
Key theories
- Existencia vía Radon-Nikodym
- La esperanza condicional existe porque la medida obtenida al integrar la variable aleatoria sobre conjuntos de la sub-sigma-álgebra es absolutamente continua con respecto a la medida de probabilidad restringida, y su derivada de Radon-Nikodym es la esperanza condicional.
- Propiedad de la torre
- Condicionar sobre una sigma-álgebra más gruesa después de condicionar sobre una más fina devuelve la esperanza condicional más gruesa, por lo que el condicionamiento iterado se reduce al nivel más grueso; esta identidad de suavizado es fundamental para la teoría de martingalas y el filtrado.
- Caracterización de la proyección
- Para variables integrables al cuadrado, la esperanza condicional es la proyección ortogonal sobre el subespacio de variables medibles con respecto a la sigma-álgebra de condicionamiento, lo que la convierte en el predictor óptimo por mínimos cuadrados dada la información disponible.
Clinical relevance
La esperanza condicional es la base formal de la predicción y la actualización bajo incertidumbre: define martingalas, subyace al filtro de Kalman y al filtrado no lineal, expresa las medias posteriores bayesianas y proporciona el precio sin arbitraje de un derecho contingente como una esperanza condicional bajo una medida neutral al riesgo.
History
Kolmogorov introdujo la definición general de esperanza condicional con respecto a una sigma-álgebra en 1933, resolviendo las paradojas del condicionamiento en eventos nulos al anclarla en el teorema de Radon-Nikodym; Doob la convirtió entonces en la base de la teoría de martingalas.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- Joseph L. Doob
- Johann Radon
- Otton Nikodym
Related topics
Seminal works
- williams1991
Frequently asked questions
- ¿Por qué la esperanza condicional es una variable aleatoria en lugar de un número?
- Porque debe codificar el valor predicho para cada estado posible de la información de condicionamiento; a medida que esa información varía sobre el espacio muestral, el valor predicho varía, haciendo de la esperanza condicional una función medible con respecto a la sigma-álgebra de condicionamiento.
- ¿Cómo generaliza el condicionamiento sobre una sigma-álgebra el condicionamiento sobre un evento?
- El condicionamiento sobre un evento de probabilidad positiva es el caso especial donde la sub-sigma-álgebra es generada por ese evento y su complemento; la definición general extiende esto a información que no puede ser capturada por ningún evento único de probabilidad positiva.