¿Qué es un modelo no estándar de la aritmética?

Por compacidad, se puede añadir a los axiomas de la aritmética una constante mayor que cada numeral; la teoría consistente resultante tiene un modelo que contiene elementos infinitos más allá de los números naturales estándar. Dichos modelos satisfacen exactamente las mismas sentencias de primer orden que el estándar.

¿Qué es la paradoja de Skolem?

El teorema descendente de Loewenheim-Skolem proporciona un modelo contable de la teoría de conjuntos, a pesar de que esa teoría demuestra que existen conjuntos incontables. La resolución es que la incontabilidad es relativa al modelo: un conjunto que el modelo considera incontable no tiene una biyección con los números naturales dentro del modelo, aunque exista una externamente.

Teoremas de Compacidad y Loewenheim-Skolem

Los teoremas de compacidad y Loewenheim-Skolem son los dos resultados fundamentales que rigen qué estructuras pueden describir las teorías de primer orden, revelando tanto el poder como las limitaciones inherentes de la lógica de primer orden.

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Definition

El teorema de compacidad establece que un conjunto de sentencias de primer orden es satisfacible si y solo si cada subconjunto finito lo es; los teoremas de Loewenheim-Skolem establecen que cualquier teoría de primer orden con un modelo infinito tiene modelos en cada cardinalidad infinita al menos igual a la de su lenguaje.

Scope

Este tema abarca el teorema de compacidad y su demostración mediante completitud o ultraproductos, los teoremas descendente y ascendente de Loewenheim-Skolem sobre las cardinalidades de los modelos, sus consecuencias estándar, incluida la existencia de modelos no estándar de la aritmética y el análisis, y la paradoja de Skolem.

Core questions

¿Por qué la satisfacibilidad finita de una teoría garantiza un modelo?
¿Cómo producen estos teoremas modelos no estándar de la aritmética y los números reales?
¿Por qué ninguna teoría de primer orden puede caracterizar una estructura infinita hasta la cardinalidad?
¿Qué es la paradoja de Skolem y cómo se resuelve?

Key theories

Teorema de compacidad: Si cada subconjunto finito de un conjunto de sentencias tiene un modelo, entonces el conjunto completo tiene un modelo; se deduce de la completitud o puede probarse semánticamente con ultraproductos.
Teorema descendente de Loewenheim-Skolem: Cualquier estructura infinita tiene una subestructura elemental de cardinalidad a lo sumo la de su lenguaje, por lo que las teorías contables con modelos infinitos tienen modelos contables.
Teorema ascendente de Loewenheim-Skolem: Cualquier modelo infinito puede extenderse elementalmente a modelos de cada cardinalidad mayor, por lo que las teorías de primer orden no pueden fijar el tamaño de sus modelos infinitos.

Clinical relevance

Estos teoremas son los pilares de la teoría de modelos: la compacidad se utiliza para construir modelos no estándar que prueban o transfieren resultados, y los teoremas de Loewenheim-Skolem explican por qué las axiomatizaciones de primer orden de los números naturales o los reales siempre admiten modelos no deseados, lo que influye en la elección de los marcos lógicos.

History

Loewenheim demostró una versión del teorema descendente en 1915 y Skolem lo generalizó y precisó a lo largo de la década de 1920. La compacidad fue obtenida por Goedel como corolario de la completitud y extendida a lenguajes incontables por Maltsev, quien la explotó por primera vez para derivar teoremas algebraicos, abriendo el camino a la teoría de modelos aplicada.

Key figures

Leopold Loewenheim
Thoralf Skolem
Kurt Goedel
Anatoly Maltsev

Seminal works

changkeisler1990
marker2002
hodges1993

Frequently asked questions

¿Qué es un modelo no estándar de la aritmética?: Por compacidad, se puede añadir a los axiomas de la aritmética una constante mayor que cada numeral; la teoría consistente resultante tiene un modelo que contiene elementos infinitos más allá de los números naturales estándar. Dichos modelos satisfacen exactamente las mismas sentencias de primer orden que el estándar.
¿Qué es la paradoja de Skolem?: El teorema descendente de Loewenheim-Skolem proporciona un modelo contable de la teoría de conjuntos, a pesar de que esa teoría demuestra que existen conjuntos incontables. La resolución es que la incontabilidad es relativa al modelo: un conjunto que el modelo considera incontable no tiene una biyección con los números naturales dentro del modelo, aunque exista una externamente.