Zeitunabhängige Schrödinger-Lösungen
Die Bestimmung der Energieniveaus und stationären Wellenfunktionen eines Quantenteilchens in einem Potenzial ist die erste Aufgabe der rechnergestützten Quantenmechanik, die entweder durch Schießen entlang der Wellenfunktion oder durch Diagonalisierung eines diskretisierten Hamilton-Operators gelöst wird.
Definition
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist eine Eigenwertgleichung, deren Lösungen die stationären Zustände und Energieniveaus eines Quantensystems sind; sie numerisch zu lösen bedeutet, diese Eigenwerte und Eigenfunktionen für ein gegebenes Potenzial zu finden.
Scope
Dieses Thema behandelt die numerische Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung in einer und wenigen Dimensionen: Schießen und Anpassen mit Eigenwertsuche, die Numerov-Integrationsmethode und Matrixmethoden, die den Hamilton-Operator auf einem Gitter oder in einer Basis diskretisieren. Es behandelt gebundene Zustände und, kurz, Streuzustände.
Core questions
- Wie findet die Schießmethode Energieeigenwerte durch die Durchsetzung von Randbedingungen?
- Warum ist die Numerov-Methode gut geeignet, um die Schrödinger-Gleichung zu integrieren?
- Wie verwandelt die Diskretisierung des Hamilton-Operators das Problem in eine Matrixdiagonalisierung?
- Wie werden die diskreten gebundenen Zustände vom Kontinuum unterschieden?
Key theories
- Schießen und Anpassen
- Die Wellenfunktion wird für eine Testenergie von den Rändern nach innen integriert, und die Energie wird angepasst, bis die inneren und äußeren Lösungen reibungslos übereinstimmen, wodurch die zulässigen Eigenwerte ausgewählt werden.
- Numerov-Integration
- Die Numerov-Methode nutzt die spezielle Struktur der Schrödinger-Gleichung ohne Term erster Ableitung, um bei der Integration der Wellenfunktion eine hohe Genauigkeit bei geringem Rechenaufwand zu erzielen.
- Matrixdiagonalisierung des Hamilton-Operators
- Die Darstellung des Hamilton-Operators auf einem Gitter oder in einer endlichen Basis ergibt eine Matrix, deren Eigenwerte die Energieniveaus und deren Eigenvektoren die diskretisierten Wellenfunktionen sind, die mit Standard-Eigenwertlösern gefunden werden.
Clinical relevance
Die Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung liefert atomare und molekulare Energieniveaus, die Spektren von Quantentöpfen und Nanostrukturen sowie die Einteilchenorbitale, die in Elektronenstrukturrechnungen eingehen.
History
Die numerische Integration der Schrödinger-Gleichung folgte bald nach ihrer Formulierung im Jahr 1926, wobei die ursprünglich für die Himmelsmechanik entwickelte Numerov-Methode zu einem festen Bestandteil wurde; das Wachstum der Computer machte die vollständige Hamilton-Diagonalisierung zur routinemäßigen Alternative.
Key figures
- Boris Numerov
- Erwin Schrodinger
- Jos Thijssen
Related topics
Seminal works
- thijssen2007
- giordano2006
Frequently asked questions
- Wann sollte die Schießmethode anstelle der Matrixdiagonalisierung verwendet werden?
- Die Schießmethode ist natürlich und genau für eindimensionale oder radiale Probleme, bei denen jeweils ein einzelner Eigenwert gesucht wird. Die Matrixdiagonalisierung ist bequemer, wenn viele Niveaus gleichzeitig benötigt werden oder in höheren Dimensionen, wo das Schießen umständlich wird.
- Warum wird die Numerov-Methode für diese Gleichung bevorzugt?
- Die Schrödinger-Gleichung hat keinen Term erster Ableitung, was das Numerov-Schema speziell ausnutzt, um eine Genauigkeit vierter Ordnung mit wenig zusätzlichem Aufwand im Vergleich zu einem grundlegenden Integrator zu erzielen.