Computergestützte Quantenmechanik
Die computergestützte Quantenmechanik wandelt die Schrödinger-Gleichung in Zahlen um und löst Energielevel, Wellenfunktionen und Quantendynamik auf einem Computer, wenn die analytischen Lösungen beim Wasserstoffatom enden.
Definition
Die computergestützte Quantenmechanik ist die Anwendung numerischer Methoden zur Lösung der Schrödinger-Gleichung und verwandter Quantenprobleme, die Energien, Wellenfunktionen und Zeitentwicklungen für Systeme liefert, die keine geschlossene Lösung haben.
Scope
Dieser Bereich umfasst die numerische Lösung von Quantenproblemen: gebundene Zustände und Streuung aus der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung, Echtzeit-Quantendynamik aus der zeitabhängigen Gleichung, die Elektronenstrukturmethoden, die Vielelektronensysteme behandeln, und die exakte Diagonalisierung endlicher Quantengitter. Er umfasst Einteilchen- und Vielteilchen-Quantenberechnungen.
Sub-topics
Core questions
- Wie werden gebundene Zustandsenergien und Wellenfunktionen für ein beliebiges Potenzial berechnet?
- Wie wird die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung stabil und unitär propagiert?
- Wie werden Vielelektronensysteme behandelt, wenn die vollständige Wellenfunktion unlösbar ist?
- Wie werden endliche Quantengittermodelle diagonalisiert, um ihre Spektren zu erhalten?
Key theories
- Diskretisierte Schrödinger-Gleichung
- Die Darstellung der Wellenfunktion auf einem Gitter oder in einer Basis verwandelt die Schrödinger-Gleichung in ein Matrix-Eigenwertproblem, dessen Eigenwerte und Eigenvektoren die Energieniveaus und stationären Zustände sind.
- Unitäre Zeitentwicklung
- Die Quantenentwicklung in Echtzeit wird mit normerhaltenden Schemata wie Crank-Nicolson- und Split-Operator-Methoden vorangetrieben, die die Unitarität und den Wahrscheinlichkeitserhalt der exakten Dynamik aufrechterhalten.
- Selbstkonsistente Mean-Field-Elektronenstruktur
- Vielelektronenprobleme werden auf gekoppelte Einteilchengleichungen reduziert, die selbstkonsistent gelöst werden, wie in der Kohn-Sham-Formulierung der Dichtefunktionaltheorie, wodurch die Elektronenstruktur von Molekülen und Festkörpern berechenbar wird.
Clinical relevance
Diese Methoden prognostizieren atomare und molekulare Spektren, chemische Bindungen und Reaktionsenergetik, elektronische Bandstrukturen von Materialien sowie die Quantendynamik, die der Spektroskopie und Quantenkontrolle zugrunde liegt, und untermauern die Quantenchemie und die Festkörperphysik.
History
Die numerische Quantenmechanik begann mit der manuellen und frühen Computerintegration der Schrödinger-Gleichung für Atome; die Hartree-Fock-Methode und ab den 1960er Jahren die Kohn-Sham-Dichtefunktionaltheorie machten Vielelektronensysteme handhabbar, während die wachsende Rechenleistung die exakte Diagonalisierung und Echtzeitdynamik erweiterte.
Key figures
- Walter Kohn
- Lu Jeu Sham
- Jos Thijssen
Related topics
Seminal works
- kohnsham1965
- thijssen2007
Frequently asked questions
- Warum können die meisten Quantenprobleme nicht auf dem Papier gelöst werden?
- Exakte analytische Lösungen der Schrödinger-Gleichung existieren nur für eine Handvoll idealisierter Potenziale. Realistische Atome, Moleküle und Materialien umfassen viele wechselwirkende Teilchen oder komplizierte Potenziale, daher müssen ihre Energien und Wellenfunktionen numerisch berechnet werden.
- Was macht die Vielelektronen-Quantenmechanik so schwierig?
- Die vollständige Wellenfunktion hängt von den Koordinaten jedes Elektrons gleichzeitig ab, sodass ihre Größe exponentiell mit der Teilchenzahl wächst. Methoden wie die Dichtefunktionaltheorie und Quanten-Monte-Carlo vermeiden es, sie direkt zu speichern, indem sie mit der Dichte oder durch stochastische Stichproben arbeiten.