Auflösbare Gruppe

Eine auflösbare Gruppe ist eine Gruppe, die aus abelschen Bausteinen durch eine Kette von Normalteilern aufgebaut werden kann, eine strukturelle Eigenschaft, die bestimmt, ob Polynomgleichungen durch Radikale lösbar sind.

Definition

Eine Gruppe ist auflösbar, wenn sie eine endliche subnormale Reihe besitzt, deren aufeinanderfolgende Quotientengruppen alle abelsch sind, oder äquivalent, wenn ihre abgeleitete Reihe in der trivialen Untergruppe endet.

Scope

Dieses Thema behandelt die abgeleitete Reihe und Kommutatoruntergruppen, subnormale Reihen mit abelschen Faktoren, die Äquivalenz der verschiedenen Definitionen der Auflösbarkeit, nilpotente Gruppen als stärkere Bedingung und die Rolle auflösbarer Gruppen in der Galoistheorie.

Core questions

• Was bedeutet es, eine Gruppe aus abelschen Schichten aufzubauen?
• Wie charakterisieren die abgeleitete Reihe und subnormale Reihen die Auflösbarkeit?
• Welche Standardfamilien von Gruppen sind auflösbar und welche nicht?
• Warum ist die Auflösbarkeit die entscheidende Bedingung für die Lösung von Gleichungen durch Radikale?

Key theories

Charakterisierung durch die abgeleitete Reihe

Eine Gruppe ist genau dann auflösbar, wenn ihre abgeleitete Reihe, die durch Iteration der Kommutatoruntergruppe erhalten wird, in endlich vielen Schritten die triviale Gruppe erreicht.

Abschlusseigenschaften auflösbarer Gruppen

Untergruppen und Faktorgruppen auflösbarer Gruppen sind auflösbar, und eine Erweiterung einer auflösbaren Gruppe durch eine auflösbare Gruppe ist auflösbar, sodass die Auflösbarkeit unter den Standard-Strukturoperationen erhalten bleibt.

Auflösbarkeit und Radikale

Ein Polynom über einem Körper der Charakteristik Null ist genau dann durch Radikale auflösbar, wenn seine Galoisgruppe eine auflösbare Gruppe ist, das Kriterium, das beweist, dass die allgemeine Gleichung fünften Grades nicht durch Radikale gelöst werden kann.

Clinical relevance

Auflösbare Gruppen stellen das präzise Hindernis in der Gleichungstheorie dar: Galoiss Kriterium verbindet die Auflösbarkeit einer Gruppe mit der Auflösbarkeit von Polynomen durch Radikale. Das Konzept strukturiert auch die endliche Gruppentheorie, wo der Satz von Feit-Thompson zeigt, dass jede Gruppe ungerader Ordnung auflösbar ist.

History

Der Begriff entstand aus Galoiss Untersuchung, welche Gleichungen durch Radikale lösbar sind, wobei 'lösbar' ursprünglich die Gleichung bezeichnete; die entsprechende gruppentheoretische Eigenschaft behielt den Namen bei. Der Satz von Feit-Thompson aus dem Jahr 1963, dass alle Gruppen ungerader Ordnung auflösbar sind, war ein Meilenstein in der Klassifikation endlicher einfacher Gruppen.

Key figures

• Évariste Galois
• Walter Feit
• John G. Thompson

Seminal works

• dummit2004
• rotman1995
• isaacs2008

Frequently asked questions

Was ist der Unterschied zwischen auflösbaren und nilpotenten Gruppen?

Nilpotente Gruppen besitzen eine Zentralreihe und bilden eine streng kleinere Klasse; jede nilpotente Gruppe ist auflösbar, aber nicht umgekehrt. Endliche nilpotente Gruppen sind genau die direkten Produkte ihrer Sylow-Untergruppen.

Warum ist die symmetrische Gruppe auf fünf Elementen nicht auflösbar?

Ihre abgeleitete Reihe stabilisiert sich bei der nichttrivialen alternierenden Gruppe auf fünf Elementen, die einfach und nicht-abelsch ist, sodass die Reihe niemals die triviale Untergruppe erreicht. Diese Nicht-Auflösbarkeit ist der Grund, warum die allgemeine Gleichung fünften Grades keine Radikalformel besitzt.