Einstein-Feldgleichungen
Die Einstein-Feldgleichungen sind die fundamentalen Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie, die besagen, dass die Krümmung der Raumzeit, erfasst durch den Einstein-Tensor, proportional zur Energie und zum Impuls der Materie ist, erfasst durch den Energie-Impuls-Tensor.
Definition
Die Einstein-Feldgleichungen sind ein Satz von zehn gekoppelten, nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, die den Einsteinschen Krümmungstensor (plus einen Term der kosmologischen Konstante) dem Energie-Impuls-Tensor gleichsetzen und dadurch bestimmen, wie Materie und Energie die Raumzeit krümmen.
Scope
Der Bereich umfasst die Form und Bedeutung der Feldgleichungen, den Einstein-Tensor und den Energie-Impuls-Tensor, ihre Herleitung aus der Einstein-Hilbert-Wirkung, die Rolle der kosmologischen Konstante, die darin enthaltenen Erhaltungsgesetze und die exakten Lösungen, wie die Schwarzschild- und Kerr-Metriken, die durch das Auferlegen von Symmetrie erhalten werden.
Sub-topics
Core questions
- Was sagen die Einstein-Feldgleichungen über die Beziehung zwischen Materie und Geometrie aus?
- Wie werden die Gleichungen aus einem Variationsprinzip abgeleitet?
- Warum sind sie schwer zu lösen, und wie ermöglichen Symmetrien exakte Lösungen?
Key concepts
- Einstein-Tensor
- Energie-Impuls-Tensor
- Einstein-Hilbert-Wirkung
- Kosmologische Konstante
- Bianchi-Identitäten und Erhaltung
- Exakte Lösungen
Key theories
- Einstein-Feldgleichungen
- Der Einstein-Tensor, eine spezifische Kombination aus Ricci-Krümmung und Metrik, ist gleich einer Konstanten mal dem Energie-Impuls-Tensor, sodass die Verteilung von Energie und Impuls die Raumzeitkrümmung bestimmt, während die lokale Energie-Impulserhaltung automatisch integriert ist.
- Einstein-Hilbert-Wirkung
- Die Variation des Integrals des Ricci-Skalars über die Raumzeit, zusammen mit der Materiewirkung, liefert die Feldgleichungen und gibt ihnen eine variationelle Grundlage, analog zu den Wirkungsprinzipien anderer physikalischer Theorien.
Clinical relevance
Die Lösung der Feldgleichungen liefert jede quantitative Vorhersage der relativistischen Gravitation: die Metriken, die Schwarze Löcher beschreiben, die Modelle des expandierenden Universums der Kosmologie, die Gravitationswellen-Templates, die von Detektoren verwendet werden, und die Starkfeldumgebungen um Neutronensterne und akkretierende kompakte Objekte.
History
Einstein gelangte im November 1915 nach mehrjähriger Anstrengung zu den endgültigen Feldgleichungen, wobei David Hilbert sie nahezu gleichzeitig aus einem Wirkungsprinzip ableitete; innerhalb weniger Monate fand Schwarzschild die erste exakte Lösung, und exakte Lösungen mit verschiedenen Symmetrien werden seither katalogisiert.
Debates
- Lokalisierung der Gravitationsenergie
- Da das Äquivalenzprinzip die lokale Transformation des Gravitationsfeldes ermöglicht, gibt es keinen allgemein anerkannten lokalen Tensor für die Gravitationsenergiedichte; es existieren nur quasi-lokale und globale Definitionen, eine anhaltende konzeptionelle Feinheit der Theorie.
Key figures
- Albert Einstein
- David Hilbert
- Karl Schwarzschild
- Roy Kerr
Related topics
Seminal works
- einstein1916
- mtw1973
Frequently asked questions
- Warum sind die Einstein-Gleichungen so schwer zu lösen?
- Es handelt sich um zehn gekoppelte, nichtlineare partielle Differentialgleichungen, bei denen die Geometrie sowohl auf die Materie reagiert als auch diese beeinflusst, sodass geschlossene Lösungen nur unter starken Symmetrieannahmen existieren; allgemeine Situationen erfordern numerische Relativität auf Supercomputern.
- Welche Rolle spielt die kosmologische Konstante in den Gleichungen?
- Die kosmologische Konstante ist ein zulässiger zusätzlicher Term, proportional zur Metrik, der wie eine gleichmäßige Energie des leeren Raumes wirkt; von Einstein für ein statisches Universum eingeführt und später zur Erklärung der kosmischen Beschleunigung wiederbelebt, ist sie der einfachste Kandidat für dunkle Energie.