Einstein-Gleichung und Energie-Impuls-Tensor

Die Einstein-Gleichung setzt den Einstein-Tensor, eine Krümmungsgröße, die aus der Metrik gebildet wird, gleich dem Energie-Impuls-Tensor, der die Dichte und den Fluss von Energie und Impuls in der Materie beschreibt.

Definition

Die Einstein-Gleichung ist die Feldgleichung G + (kosmologischer Term) = 8 pi G/c^4 mal T, in der der Einstein-Tensor G die Raumzeitkrümmung und der Energie-Impuls-Tensor T den Energie- und Impulsinhalt von Materie und nicht-gravitativen Feldern kodiert.

Scope

Dieses Thema behandelt die Konstruktion des Einstein-Tensors aus dem Ricci-Tensor und -Skalar, den Energie-Impuls-Tensor und seine Komponenten (Energiedichte, Impulsdichte, Druck und Spannung), die Beispiele für perfekte Fluide und elektromagnetische Felder, die kontrahierte Bianchi-Identität, die die Energie-Impuls-Erhaltung garantiert, und die Schwachfeld-Reduktion auf die Newtonsche Poisson-Gleichung.

Core questions

• Wie wird der Einstein-Tensor konstruiert, sodass die Erhaltung von Energie und Impuls automatisch erfolgt?
• Welche physikalischen Größen sind im Energie-Impuls-Tensor kodiert?
• Wie reduziert sich die Gleichung im Schwachfeldlimit auf die Newtonsche Gravitation?

Key concepts

• Einstein-Tensor
• Ricci-Tensor und -Skalar
• Energie-Impuls-Tensor
• Perfektes Fluid
• Bianchi-Identität
• Newtonsches (Schwachfeld-)Limit

Key theories

Einstein-Tensor und Bianchi-Identität

Der Einstein-Tensor ist die einzigartige divergenzfreie Kombination aus Ricci-Tensor und Skalarkrümmung, sodass die kontrahierte Bianchi-Identität den Energie-Impuls-Tensor zur Erhaltung zwingt und die lokale Energie-Impuls-Erhaltung in die Geometrie einbettet.

Energie-Impuls als Quelle der Gravitation

Der Energie-Impuls-Tensor sammelt Energiedichte, Impuls, Druck und Scherspannung und ist die vollständige Quelle der Gravitation in der allgemeinen Relativitätstheorie, sodass Druck und Energie, nicht nur Masse, zur Raumzeitkrümmung beitragen.

Clinical relevance

Da Druck und Energie gravitieren, bestimmt der Energie-Impuls-Tensor die Struktur von Sternen und Neutronensternen durch das relativistische hydrostatische Gleichgewicht, das Verhalten von strahlungsdominierten und materiedominierten kosmologischen Ären sowie die Bedingungen, die Energiebedingungen, die zum Beweis von Singularitäts- und Positiv-Energie-Theoremen verwendet werden.

History

Einstein kämpfte 1915 darum, Feldgleichungen zu finden, die allgemein kovariant waren und sich auf die Newtonsche Gravitation reduzierten, während sie Energie und Impuls erhielten; die Erkenntnis, dass der Einstein-Tensor über die Bianchi-Identitäten automatisch divergenzfrei ist, löste die Schwierigkeit und legte die endgültige Form der Gleichungen fest.

Key figures

• Albert Einstein
• Luigi Bianchi
• David Hilbert

Seminal works

• einstein1916
• wald1984

Frequently asked questions

Warum gravitieren Druck in der allgemeinen Relativitätstheorie, aber nicht in der Newtonschen Gravitation?

Die Quelle der Gravitation in der allgemeinen Relativitätstheorie ist der vollständige Energie-Impuls-Tensor, dessen räumliche Spannungskomponenten den Druck einschließen; im Newtonschen Limit sind diese Terme im Vergleich zur Ruhemasseenergie vernachlässigbar, sodass nur die Massendichte erscheint, aber in starken Feldern und relativistischer Materie trägt der Druck messbar bei.

Wie folgt die Energie-Impuls-Erhaltung aus den Gleichungen?

Der Einstein-Tensor erfüllt die kontrahierte Bianchi-Identität, was bedeutet, dass seine kovariante Divergenz identisch verschwindet; ihn proportional zum Energie-Impuls-Tensor zu setzen, zwingt diesen Tensor dann, als eingebaute Konsequenz der Geometrie kovariant erhalten zu bleiben.