Brownsche Bewegung und stochastische Prozesse

Die Brownsche Bewegung ist die unregelmäßige Bewegung eines Teilchens, das durch molekulare Kollisionen angestoßen wird, der Prototyp eines stochastischen Prozesses und ein früher direkter Beweis für die molekulare Natur der Materie.

Definition

Die Brownsche Bewegung ist die zufällige Bewegung eines kleinen Teilchens, das in einem Fluid suspendiert ist und durch Kollisionen mit den umgebenden Molekülen entsteht. Ihre mathematische Beschreibung ist das grundlegende Beispiel eines stochastischen Prozesses, der durch Langevin-, Fokker-Planck- und Mastergleichungen modelliert wird.

Scope

Dieses Thema behandelt Einsteins Theorie der Brownschen Bewegung, die Diffusion mit Temperatur und Reibung in Beziehung setzt, die Langevin-Gleichung mit ihren zufälligen und Reibungskräften, die Fokker-Planck- und Mastergleichungen, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen regeln, den Wiener-Prozess und weißes Rauschen sowie die Einstein- und Smoluchowski-Beziehungen. Verbindungen zur Diffusion und zur breiteren Theorie der Markov-Prozesse sind eingeschlossen.

Core questions

• Wie verknüpft Einsteins Theorie den Diffusionskoeffizienten mit Temperatur und Reibung?
• Wie modelliert die Langevin-Gleichung zufällige und dissipative Kräfte gemeinsam?
• Wie beschreiben die Fokker-Planck- und Mastergleichungen die Entwicklung der Wahrscheinlichkeit?
• Warum war die Brownsche Bewegung historisch ein entscheidender Beweis für Atome?

Key concepts

• Brownsche Bewegung und Diffusion
• Langevin-Gleichung
• Fokker-Planck- und Mastergleichungen
• Wiener-Prozess und weißes Rauschen
• Einstein- und Smoluchowski-Beziehungen

Key theories

Einstein-Theorie der Brownschen Bewegung

Einstein zeigte, dass die mittlere quadratische Verschiebung eines suspendierten Teilchens linear mit der Zeit wächst, mit einem Diffusionskoeffizienten, der durch Temperatur und Reibung festgelegt ist, wodurch die beobachtbare Diffusion mit molekularer Agitation und der Avogadro-Zahl verknüpft wird.

Clinical relevance

Die Theorie der Brownschen Bewegung und stochastischer Prozesse liegt der Diffusion in Physik, Chemie und Biologie zugrunde, der Modellierung von Rauschen in Messungen und Elektronik, der Einzelmolekül-Biophysik und sogar der mathematischen Finanzwirtschaft, wo der Wiener-Prozess ein zentrales Werkzeug ist.

History

Einsteins und Smoluchowskis Theorien von 1905-1906 erklärten das lange beobachtete Zittern suspendierter Partikel und wurden durch Perrins Experimente bestätigt, was starke Beweise für Atome lieferte; die Langevin-Gleichung lieferte bald eine äquivalente dynamische Formulierung.

Key figures

• Albert Einstein
• Marian Smoluchowski
• Paul Langevin
• Jean Perrin

Seminal works

• einstein1905brownian
• vankampen2007

Frequently asked questions

Warum trug die Brownsche Bewegung zur Bestätigung der Existenz von Atomen bei?

Einsteins quantitative Vorhersage, die die Diffusion des Teilchens mit molekularen Kollisionen verknüpfte, ermöglichte es Perrin, die Avogadro-Zahl aus der beobachteten Bewegung zu messen; die Übereinstimmung war ein überzeugender Beweis dafür, dass Materie aus diskreten Molekülen in ständiger thermischer Bewegung besteht.