قوانين الأعداد الكبيرة
تنص قوانين الأعداد الكبيرة على أن متوسط العديد من الملاحظات المستقلة لكمية عشوائية يتقارب نحو قيمتها المتوقعة، مما يضفي محتوى رياضيًا على الحدس بأن الترددات طويلة الأمد تستقر.
Definition
تؤكد قوانين الأعداد الكبيرة أن متوسط العينة للمتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ذات المتوسط المحدود يتقارب نحو هذا المتوسط، في الاحتمال للقانون الضعيف وشبه المؤكد للقانون القوي.
Scope
يغطي الموضوع القانون الضعيف للأعداد الكبيرة الذي أُثبت بواسطة متباينة تشيبيشيف وبالاقتطاع، وقانون خينتشين الضعيف في ظل وجود متوسط محدود فقط، وقانون كولموغوروف القوي للأعداد الكبيرة مع متباينته القصوى ونظرية السلاسل الثلاث، والتمييز بين التقارب في الاحتمال والتقارب شبه المؤكد، وفشل القوانين للمتغيرات التي ليس لها متوسط محدود.
Core questions
- بأي معنى دقيق يقترب متوسط العينة من المتوسط الحقيقي مع تزايد حجم العينة؟
- ما الفرق بين القانونين الضعيف والقوي، وما هي الفرضيات التي يحتاجها كل منهما؟
- ما هي المتباينات والتحليلات التي تجعل القانون القوي قابلاً للإثبات؟
- ماذا يحدث عندما لا يكون للتوزيع الأساسي متوسط محدود؟
Key concepts
- التقارب في الاحتمال
- التقارب شبه المؤكد
- متباينة تشيبيشيف
- طريقة الاقتطاع
- نظرية كولموغوروف للسلاسل الثلاث
Key theories
- القانون الضعيف للأعداد الكبيرة
- بالنسبة للمتغيرات المستقلة والمتطابقة التوزيع ذات المتوسط المحدود، يتقارب متوسط العينة نحو المتوسط في الاحتمال، وهي نتيجة يمكن الحصول عليها من متباينة تشيبيشيف عندما يكون التباين محدودًا ومن حجج الاقتطاع في ظل فرضية خينتشين الأضعف.
- قانون كولموغوروف القوي للأعداد الكبيرة
- بالنسبة للمتغيرات المستقلة والمتطابقة التوزيع، فإن المتوسط المحدود ضروري وكافٍ لتقارب متوسط العينة نحو المتوسط بشكل شبه مؤكد، وهو الشكل النهائي للقانون وأساس التفسير التكراري للاحتمال.
Clinical relevance
القانون القوي هو ما يسمح بتقدير التوقع بمتوسط العينة ويكمن وراء تكامل مونت كارلو، واتساق المقدرات في الإحصاء، والتفسير التكراري للاحتمال كتردد نسبي طويل الأمد؛ ويحذر فشله للبيانات ذات الذيل الثقيل من حساب متوسط الكميات ذات المتوسط اللانهائي مثل بعض خسائر التأمين.
History
أثبت برنولي أول قانون للأعداد الكبيرة للنسب الثنائية في عام 1713. قدم تشيبيشيف إثباتًا بسيطًا يعتمد على التباين، وخفف خينتشين الفرضيات إلى متوسط محدود، وأنشأ كولموغوروف القانون القوي شبه المؤكد النهائي جنبًا إلى جنب مع المتباينة القصوى ونظرية السلاسل الثلاث التي تثبته.
Key figures
- Jacob Bernoulli
- Pafnuty Chebyshev
- Aleksandr Khinchin
- Andrey Kolmogorov
Related topics
Seminal works
- billingsley1995
Frequently asked questions
- ما الفرق بين القانونين الضعيف والقوي للأعداد الكبيرة؟
- ينص القانون الضعيف على أن المتوسط من المرجح أن يكون قريبًا من المتوسط لأي حجم عينة كبير ثابت، بينما ينص القانون القوي على أنه باحتمال واحد، تتقارب السلسلة الكاملة للمتوسطات نحو المتوسط؛ ويعتبر القانون القوي هو البيان الأكثر حسمًا.
- هل يمكن أن يفشل قانون الأعداد الكبيرة؟
- نعم؛ إذا لم يكن للتوزيع الأساسي متوسط محدود، مثل توزيع كوشي (Cauchy distribution)، فإن متوسط العينة لا يتقارب نحو ثابت على الإطلاق، ولا ينطبق القانون بشكله المعتاد.