عمليات بواسون غير المتجانسة والمركبة

تعميمًا لعملية بواسون، تسمح النسخة غير المتجانسة لمعدل الحدث بالتغير بمرور الوقت أو المكان، بينما تُلحق النسخة المركبة أحجامًا عشوائية مستقلة بكل حدث.

Definition

عملية بواسون غير المتجانسة هي عملية عد ذات زيادات مستقلة يكون عددها في منطقة ما موزعًا بواسونيًا بمتوسط يُعطى بتكامل شدة غير ثابتة، وعملية بواسون المركبة هي مجموع قفزات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع تحدث عند أحداث عملية بواسون.

Scope

يغطي هذا الموضوع عملية بواسون غير المتجانسة المعرفة بدالة شدة متغيرة ومقياس متوسط تراكمي، وتغير الوقت الذي يحولها إلى عملية بواسون قياسية، وعملية بواسون المركبة المتكونة من جمع أحجام عشوائية مستقلة عند أوقات أحداث بواسون، ومتوسطها، وتباينها، ودالتها المميزة، وتطبيقاتها على مخاطر التأمين وضوضاء الطلقة (shot noise).

Core questions

• كيف تعمم دالة الشدة المتغيرة العملية ذات المعدل الثابت؟
• كيف يمكن تحويل عملية غير متجانسة إلى عملية متجانسة بتغيير الوقت؟
• كيف يتم حساب المتوسط والتباين لمجموع بواسون المركب؟
• كيف تُنمذج هذه العمليات مطالبات التأمين وضوضاء الطلقة (shot noise)؟

Key theories

تغيير الوقت إلى بواسون القياسي

يؤدي إعادة قياس الوقت بواسطة دالة الشدة التراكمية إلى تحويل عملية بواسون غير المتجانسة إلى عملية بواسون قياسية بمعدل واحد، مما يميز العملية غير المتجانسة ويوفر طريقة محاكاة عن طريق الانعكاس أو التخفيف.

توزيع بواسون المركب

مجموع عدد من القفزات المستقلة الموزعة بواسونيًا له متوسط وتباين يمكن التعبير عنهما من خلال توزيع القفزة، ودالته المميزة هي أس المعدل مضروبًا في الدالة المميزة للقفزة مطروحًا منها واحد، مما يربطها بالقوانين القابلة للقسمة بلا حدود.

Clinical relevance

تُنمذج عمليات بواسون غير المتجانسة معدلات الوصول المتغيرة زمنيًا مثل حركة المرور اليومية أو معدل الإصابة بالأمراض الموسمية، بينما تُعد عمليات بواسون المركبة النموذج الكلاسيكي لمجموع مطالبات التأمين في نظرية المخاطر لكرايمر-لوندبرغ ولضوضاء الطلقة (shot noise) في الفيزياء ومعالجة الإشارات.

History

قدم لوندبرغ نموذج مخاطر بواسون المركب في عام 1903، وطور كرايمر نظرية الخراب الخاصة به في ثلاثينيات القرن الماضي، بينما أصبحت عمليات بواسون غير المتجانسة ومحاكاتها القائمة على التخفيف (thinning)، التي صاغها لويس وشيدلر في عام 1979، أدوات قياسية لنمذجة معدلات الأحداث المتغيرة زمنيًا.

Key figures

• Filip Lundberg
• Harald Cramer
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

ما الفرق بين عمليات بواسون غير المتجانسة والمركبة؟

تحافظ العملية غير المتجانسة على قفزات الوحدة ولكنها تسمح لمعدل الحدث بالتغير في الزمان أو المكان، بينما تحافظ العملية المركبة على عدد بواسوني من الأحداث ولكنها تعطي كل حدث حجمًا عشوائيًا.

كيف تُستخدم عملية بواسون المركبة في التأمين؟

إنها تُنمذج إجمالي المطالبات كعدد بواسوني من مبالغ المطالبات المستقلة؛ ويُعد الإجمالي الناتج أساس نظرية الخراب الكلاسيكية، التي تدرس احتمالية تجاوز المطالبات المتراكمة للاحتياطيات.