متناقضات نظرية المجموعات ونظرية الأنماط

مجموعة كل المجموعات التي لا تحتوي على نفسها، تحتوي على نفسها ولا تحتوي على نفسها في آن واحد — لقد أطاحت متناقضة راسل بنظرية المجموعات الساذجة وأعادت تشكيل أسس المنطق.

Definition

متناقضات نظرية المجموعات هي تناقضات يمكن استنتاجها في نظرية المجموعات الساذجة من مبدأ الفهم غير المقيد بأن كل شرط يحدد مجموعة؛ نظرية الأنماط تمنعها عن طريق ترتيب الكيانات في تسلسل هرمي من الأنماط وتحظر على المجموعة أن تنتمي إلى نفسها.

Scope

يغطي هذا الموضوع المتناقضات المنطقية والمتعلقة بنظرية المجموعات والاستجابات التأسيسية التي أثارتها. ويتناول متناقضة راسل لمجموعة كل المجموعات غير العضوة في ذاتها، ومتناقضة بورالي-فورتي للعدد الترتيبي الأكبر، ومتناقضة كانتور للمجموعة الكونية؛ وتشخيص راسل عبر مبدأ الدائرة المفرغة ونظرية الأنماط المتفرعة الناتجة في كتاب "مبادئ الرياضيات" (Principia Mathematica)؛ والاستجابة البديلة لنظرية المجموعات البديهية (زيرميلو-فرينكل) التي تقيد الفهم لتجنب المتناقضات.

Core questions

• ما هو الافتراض في نظرية المجموعات الساذجة الذي يولد متناقضة راسل؟
• هل يتطلب تجنب المتناقضات مبدأ الدائرة المفرغة وقيود الأنماط؟
• كيف تختلف نظرية الأنماط ونظرية المجموعات البديهية كاستجابات؟
• هل المتناقضات المنطقية هي نفسها أساسًا المتناقضات الدلالية؟

Key concepts

• الفهم غير المقيد
• متناقضة راسل
• متناقضات بورالي-فورتي وكانتور
• مبدأ الدائرة المفرغة
• نظرية الأنماط
• مسلمة الفصل

Key theories

نظرية الأنماط المتفرعة

يمنع راسل المتناقضات بمبدأ الدائرة المفرغة وتسلسل هرمي من الأنماط حيث يمكن تعريف الكيان فقط على كيانات أدنى في التسلسل الهرمي، مما يمنع الانتماء الذاتي والتعريفات القابلة للتطبيق على الذات.

الفهم المقيد

تتخلى نظرية المجموعات البديهية (زيرميلو-فرينكل) عن الفهم غير المقيد لصالح الفصل والاستبدال، بحيث لا يمكن تكوين أي مجموعة من جميع المجموعات غير العضوة في ذاتها، مما يحل متناقضة راسل دون الحاجة إلى تسلسل هرمي للأنماط.

History

اكتشف راسل متناقضته عام 1901 أثناء دراسته للمنطقية الفريجية، مما قوض قانون فريجه الأساسي الخامس. قدمت نظرية الأنماط لراسل عام 1908 وكتاب "مبادئ الرياضيات" (Principia Mathematica) عام 1910 علاجًا واحدًا؛ وقدمت بديهيات زيرميلو عام 1908، التي وسعها فرينكل لاحقًا، علاجًا آخر، ويرتكز النهجان على الأسس الحديثة ونظرية الأنماط البسيطة المستخدمة في المنطق وعلوم الحاسوب.

Debates

الأنماط مقابل نظرية المجموعات البديهية

ما إذا كان من الأفضل تجنب المتناقضات عن طريق تسلسل هرمي للأنماط يستند إلى مبدأ الدائرة المفرغة أو عن طريق تقييد بديهيات وجود المجموعة، وما يترتب على كل نهج فيما يتعلق بطبيعة المجموعات والفئات والتعريفات التنبؤية مقابل غير التنبؤية.

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

ما هي متناقضة راسل بعبارات بسيطة؟

لنتأمل المجموعة R لجميع المجموعات التي ليست أعضاء في نفسها. اسأل عما إذا كانت R عضوًا في نفسها. إذا كانت كذلك، فوفقًا لتعريفها الخاص يجب ألا تكون؛ وإذا لم تكن كذلك، فإنها تستوفي الشرط ويجب أن تكون. كلتا الإجابتين تتناقضان مع الأخرى، مما يدل على أن افتراض نظرية المجموعات الساذجة بأن أي خاصية تحدد مجموعة يجب أن يكون خاطئًا.