نظريات غودل وفلسفتها
من خلال ترميز الإشارة الذاتية في علم الحساب، أثبت غودل أن أي نظام شكلي متسق وغني بما يكفي للحساب يحتوي على جمل صحيحة لا يمكنه إثباتها.
Definition
تنص نظرية غودل الأولى في عدم الاكتمال على أن أي نظام شكلي متسق ومُسَلَّم عليه بفعالية وقادر على التعبير عن الحساب الابتدائي يحتوي على جملة صحيحة لا يمكنه إثباتها ولا دحضها؛ وتنص الثانية على أنه لا يمكن لأي نظام من هذا القبيل إثبات اتساقه الخاص.
Scope
يغطي هذا الموضوع نظريات غودل في عدم الاكتمال وتفسيرها الفلسفي. ويتناول تقنية الحساب (ترقيم غودل) ومبرهنة القطر التي تبني جملة ذاتية الإشارة تقول 'أنا غير قابلة للإثبات'؛ النظرية الأولى (أن هذه الأنظمة غير مكتملة) والثانية (لا يمكنها إثبات اتساقها الخاص)؛ والاستخدامات الفلسفية المثيرة للجدل للنظريات — الادعاءات حول حدود الشكلية وبرنامج هيلبرت، وحجج لوكاس-بينروز بأن العقل البشري يتجاوز أي خوارزمية.
Core questions
- كيف يسمح ترقيم غودل للحساب بالتحدث عن براهينه الخاصة؟
- ما الذي تثبته نظريات عدم الاكتمال بالضبط، ولأي الأنظمة؟
- ماذا كانت تعني النظريات لبرنامج هيلبرت والمنطقية؟
- هل تُظهر النظريات أن العقول تتفوق على الآلات؟
Key concepts
- ترقيم غودل (الحساب)
- مبرهنة القطر
- جملة غودل
- نظريات عدم الاكتمال الأولى والثانية
- برنامج هيلبرت
- الاتساق والاتساق أوميغا
Key theories
- عدم الاكتمال عبر التقطير
- يقوم غودل بحساب بناء الجملة بحيث يمكن للصيغة أن تعبر عن عدم قابليتها للإثبات؛ الجملة الناتجة صحيحة (إذا كان النظام متسقًا) ولكنها غير قابلة للإثبات، مما يؤسس لعدم الاكتمال، وتُظهر النظرية الثانية أن الاتساق نفسه غير قابل للإثبات داخل النظام.
- حجة لوكاس-بينروز
- يحتج لوكاس من نظرية غودل بأنه، بما أن الإنسان يمكنه رؤية حقيقة جملة غودل لأي آلة متسقة تحاكي العقل، فإن العقل لا يمكن أن يكون مثل هذه الآلة؛ هذه الحجة متنازع عليها على نطاق واسع.
History
أثبت غودل نظريات عدم الاكتمال في عام 1931، مما حد بشكل حاسم من برنامج هيلبرت لإثبات اكتمال الرياضيات واتساقها بوسائل محدودة. وقد ترددت أصداء هذه النتائج في فلسفة الرياضيات والعقل، حيث استخلص لوكاس (1961) ولاحقًا بينروز استنتاجات مناهضة للميكانيكية أدت إلى ظهور أدبيات نقدية واسعة النطاق.
Debates
- هل تدحض النظريات الميكانيكية حول العقل؟
- ما إذا كانت حجة لوكاس-بينروز تستنتج بشكل صحيح من عدم الاكتمال أن البصيرة الرياضية البشرية تتجاوز أي خوارزمية، أو ما إذا كانت تتجاوز حدودها بافتراض أننا نستطيع دائمًا معرفة اتساقنا الخاص والتعرف على جملة غودل ذات الصلة.
Key figures
- Kurt Godel
- David Hilbert
- J. R. Lucas
- Roger Penrose
- Peter Smith
Related topics
Seminal works
- godel1931
- smith2013
Frequently asked questions
- هل تعني نظرية غودل أن الرياضيات معطلة؟
- لا. إنها تعني أنه لا يمكن لأي نظام شكلي متسق واحد أن يثبت كل حقيقة حسابية، ولا يمكن لأي منها أن يشهد على اتساقه الخاص من داخله. تستمر الرياضيات بشكل جيد تمامًا؛ تضع النظريات بدلاً من ذلك حدًا مبدئيًا لما يمكن لأي نظام بديهي ثابت أن يحققه، داحضة الأمل في أساس واحد كامل وذاتي التصديق.