المنطق الافتراضي ومنطق الرتبة الأولى

يُعد المنطق الافتراضي ومنطق الرتبة الأولى من الأنظمة الشكلية الأساسية للمنطق الكلاسيكي، وهما يتمتعان بقدرة تعبيرية كافية لتنظيم معظم أشكال الاستدلال العادي والرياضي.

Definition

يدرس المنطق الافتراضي الاستدلال بين الجمل الكاملة المدمجة بواسطة الروابط الدالية للصدق؛ ويمتد منطق الرتبة الأولى ليشمل المحددات التي تتراوح عبر مجال من الأفراد ومع المحمولات والعلاقات، مع الإبقاء على التحديد مقصورًا على الأفراد بدلاً من الخصائص.

Scope

يغطي هذا الموضوع بناء الجملة (syntax) والدلالات (semantics) ونظرية البرهان (proof theory) لحساب التفاضل والتكامل الافتراضي الكلاسيكي (الروابط الدالية للصدق) ومنطق المحمولات من الرتبة الأولى (المحددات، المتغيرات، والعلاقات). ويتضمن النتائج الميتا-نظرية المركزية — مثل الصحة (soundness)، والاكتمال (completeness)، والاندماج (compactness)، ونظريات لوفنهايم-سكولم (Lowenheim-Skolem theorems) — والأهمية الفلسفية لوضع منطق الرتبة الأولى كإطار معياري لتنظيم الحجج ولأسس الرياضيات.

Core questions

• ما هو المدى التعبيري لمنطق الرتبة الأولى، وما الذي لا يمكن التعبير عنه فيه؟
• لماذا يُعتبر منطق الرتبة الأولى غالبًا المنطق المفضل للتنظيم؟
• ماذا تخبرنا نظريتا الاكتمال والاندماج عن العلاقة بين بناء الجملة والدلالات؟
• ما هي التكاليف والفوائد الفلسفية للانتقال إلى الرتبة الثانية؟

Key concepts

• الروابط الدالية للصدق
• المحددات والمتغيرات
• الإرضاء والنماذج
• الاكتمال والاندماج
• نظريات لوفنهايم-سكولم
• منطق الرتبة الأولى مقابل منطق الرتبة الثانية

Key theories

اكتمال منطق الرتبة الأولى

تثبت نظرية اكتمال غودل أن كل نتيجة دلالية من الرتبة الأولى قابلة للإثبات في نظام استنتاجي معياري، وبالتالي تتطابق قابلية الاشتقاق والصلاحية القائمة على النموذج لمنطق الرتبة الأولى.

أرثوذكسية الرتبة الأولى

يدافع كواين عن قصر المنطق المعياري على الرتبة الأولى، على أساس أنه كامل، وواضح وجوديًا، وخالٍ من الالتزامات النظرية للمجموعات وعدم اكتمال منطق الرتبة الثانية.

History

قدم فريجه (Frege) في كتابه Begriffsschrift عام 1879 تدوين المحددات والمتغيرات وأول نظام لمنطق المحمولات، والذي توقعه بيرس (Peirce) بشكل مستقل. استقرت النظرية الميتا-نظرية في أوائل القرن العشرين مع نظرية اكتمال غودل (Godel) (1929) ونتائج الاندماج ولوفنهايم-سكولم، وبعد ذلك روج كواين (Quine) وآخرون لمنطق الرتبة الأولى كإطار منطقي معياري.

Debates

هل منطق الرتبة الأولى هو المنطق المعياري الصحيح؟

ما إذا كان يجب قصر المنطق على الرتبة الأولى، نظرًا لاكتماله ووضوحه الوجودي، أو تمديده إلى منطق الرتبة الثانية للحصول على قوة تعبيرية أكبر على حساب الاكتمال والالتزامات الرياضية الأثقل.

Key figures

• Gottlob Frege
• Kurt Godel
• W. V. O. Quine
• Charles Sanders Peirce
• Herbert Enderton

Seminal works

• frege1879
• quine1986

Frequently asked questions

ما الفرق بين منطق الرتبة الأولى ومنطق الرتبة الثانية؟

يحدد منطق الرتبة الأولى فقط الكائنات الفردية في مجال ما. بينما يسمح منطق الرتبة الثانية أيضًا بالتحديد على الخصائص والعلاقات والوظائف لتلك الكائنات. يُعد منطق الرتبة الثانية أكثر تعبيرية بكثير ولكنه يفتقر إلى نظام إثبات كامل ويحمل التزامات رياضية أقوى، ولهذا السبب يتعامل العديد من الفلاسفة مع منطق الرتبة الأولى على أنه معياري.