Verlet 积分法
Verlet 算法及其速度形式是分子动力学的标准积分器，因其时间可逆性、辛性以及在模拟所需的数百万步中能很好地守恒能量而备受推崇。
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Definition
Verlet 积分法是一种时间可逆的辛方法，用于积分牛顿运动方程，它使用当前和先前的位置以及加速度来更新粒子位置，从而为分子动力学提供稳定的轨迹。
Scope
本主题涵盖 Verlet 积分器家族：原始的位置 Verlet 方案、等效的蛙跳法和速度 Verlet 公式、它们的时间可逆性和辛结构，以及由此产生的长期能量守恒。它将这些方法置于哈密顿系统辛积分的更广泛理论中。
Core questions
- Verlet 方案如何根据力推进位置和速度？
- Verlet 算法为何是时间可逆和辛的？
- Verlet 积分法为何能在非常长的模拟中很好地守恒能量？
- 位置 Verlet、蛙跳法和速度 Verlet 公式之间有何关联？
Key theories
- 辛结构和时间可逆结构
- Verlet 积分法保留了相空间的辛几何结构，并且在时间反演下不变，这共同阻止了困扰保守系统非辛积分器的系统性能量漂移。
- 影子哈密顿量守恒
- 尽管离散的 Verlet 轨迹不能精确守恒真实能量，但它近似守恒一个密切相关的影子哈密顿量，使能量误差保持有界和振荡，而不是持续增长。
- 等效公式
- 位置 Verlet、蛙跳法和速度 Verlet 方案产生相同的轨迹，但它们在速度何时可用以及如何可用方面有所不同，当需要同步的位置和速度时，速度 Verlet 更受青睐。
Clinical relevance
Verlet 积分法是几乎所有分子动力学代码中默认的时间步进引擎，从简单的 Lennard-Jones 流体到大型生物分子模拟，同样的辛原理也用于天文学中的长期轨道积分。
History
该方案在20世纪初由天文学家 Carl Stormer 使用，并由 Loup Verlet 在其1967年对 Lennard-Jones 流体的研究中推广应用于分子模拟；后来的分析表明它是一种辛积分器，解释了其出色的长期稳定性。
Key figures
- Loup Verlet
- Carl Stormer
- Ernst Hairer
Related topics
Seminal works
- verlet1967
- hairer1993
Frequently asked questions
- 在分子动力学中，为何 Verlet 优于更高阶的龙格-库塔方法？
- 尽管龙格-库塔方法每一步可能更精确，但它不是辛的，并且在长时间运行中能量会缓慢漂移。Verlet 的辛、时间可逆结构使能量在数百万步内保持有界，这对于平衡模拟而言，比每一步的精度重要得多。
- Verlet 能精确守恒能量吗？
- 不能。它守恒的是一个近似的影子哈密顿量，而不是精确的能量，因此测得的能量在一个有界范围内振荡，而不是漂移，这足以计算稳定的热力学平均值。