可解群

可解群是一种可以通过正规子群链从阿贝尔（abelian）部分构建的群，这种结构性质决定了多项式方程是否可以通过根式求解。

Definition

一个群是可解的，如果它有一个有限次正规列，其连续商群都是阿贝尔群；等价地，如果它的导群列终止于平凡子群。

Scope

本主题涵盖了导群列和换位子群、具有阿贝尔因子的次正规列、可解性各种定义的等价性、作为更强条件的幂零群，以及可解群在伽罗瓦理论中的作用。

Core questions

• 从阿贝尔层构建一个群意味着什么？
• 导群列和次正规列如何表征可解性？
• 哪些标准群族是可解的，哪些不是？
• 为什么可解性是根式求解方程的决定性条件？

Key theories

导群列表征

一个群是可解的，当且仅当其导群列（通过迭代换位子群获得）在有限步内达到平凡群。

可解群的闭包性质

可解群的子群和商群是可解的，并且可解群的可解群扩张是可解的，因此可解性在标准结构操作下得以保留。

可解性与根式

特征为零的域上的多项式可以通过根式求解，当且仅当其伽罗瓦群是可解群，这个判据证明了一般五次方程不能通过根式求解。

Clinical relevance

可解群是方程理论中的精确障碍：伽罗瓦准则将群的可解性与多项式通过根式求解的可解性联系起来。这个概念也组织了有限群理论，其中费特-汤普森定理表明每个奇数阶群都是可解的。

History

这个概念源于伽罗瓦对哪些方程可以通过根式求解的研究，其中“可解”最初指的是方程；相应的群论性质保留了这个名称。1963年的费特-汤普森定理，即所有奇数阶群都是可解的，是有限单群分类中的一个里程碑。

Key figures

• Évariste Galois
• Walter Feit
• John G. Thompson

Seminal works

• dummit2004
• rotman1995
• isaacs2008

Frequently asked questions

可解群和幂零群有什么区别？

幂零群具有中心列，并构成一个严格更小的类；每个幂零群都是可解的，但反之不成立。有限幂零群恰好是其西罗（Sylow）子群的直积。

为什么五阶对称群不可解？

它的导群列稳定在非平凡的五阶交错群上，该群是单群且非阿贝尔群，因此该列永远不会达到平凡子群。这种不可解性是为什么一般五次方程没有根式解的原因。