伽罗瓦群
域扩张的伽罗瓦群是固定基域的域自同构群，它编码了多项式根的对称性并索引了中间域。
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Definition
对于一个域扩张，伽罗瓦群是较大域的自同构群，它固定基域的每个元素；当这个群的大小等于扩张的次数时，该扩张被称为伽罗瓦扩张，这恰好发生在有限正规且可分扩张的情况下。
Scope
本主题涵盖域扩张的自同构、伽罗瓦群的定义、正规扩张和可分扩张、伽罗瓦理论基本定理，以及多项式伽罗瓦群的计算及其作为根的置换群的解释。
Core questions
- 域扩张具有哪些对称性？
- 扩张何时是伽罗瓦扩张，其自同构群有多大？
- 伽罗瓦群如何与中间域对应？
- 多项式的伽罗瓦群如何作为其根的置换群来实现？
Key theories
- 伽罗瓦理论基本定理
- 对于一个有限伽罗瓦扩张，在中间域和伽罗瓦群的子群之间存在一个包含反转的双射，在该双射下，子扩张的次数等于对应子群的指数。
- 作为根的置换的伽罗瓦群
- 可分多项式的伽罗瓦群忠实地作用于其根，将其嵌入为这些根的对称群的一个子群，这有助于约束和计算该群。
- 阿廷固定域定理
- 如果一个有限自同构群作用于一个域，则整个域是固定子域的伽罗瓦扩张，且该群为其伽罗瓦群，这给出了伽罗瓦群构造的逆命题。
Clinical relevance
伽罗瓦群将关于域扩张和多项式方程的问题转化为群论问题；它的可解性决定了方程是否可以通过根式求解，而逆伽罗瓦问题和伽罗瓦表示使其成为现代数论和算术几何的核心。
History
伽罗瓦在19世纪30年代为每个方程关联了一个其根的置换群，即最初的伽罗瓦群。戴德金和阿廷将其重新表述为域自同构，而阿廷基于固定域的表述赋予了该理论现代的、概念性的形态。
Key figures
- Évariste Galois
- Emil Artin
- Richard Dedekind
- Leopold Kronecker
Related topics
Seminal works
- dummit2004
- lang2002
- artin2011
Frequently asked questions
- 域扩张何时是伽罗瓦扩张？
- 当一个有限扩张既是正规的（它包含其每个元素的所有共轭）又是可分的（最小多项式具有不同的根）时，它就是伽罗瓦扩张。等价地，固定基域的自同构群的阶等于扩张的次数。
- 为什么将伽罗瓦群视为置换根？
- 固定基域的自同构必须将多项式的根映射到其他根，因此该群作用于有限的根集合。这使得伽罗瓦群在对称群中实现，从而使其可计算并将其与置换群理论联系起来。