丢番图逼近

丢番图逼近衡量无理数能被分数逼近的紧密程度；其结果微妙地取决于该数，从而区分有理数、代数无理数和超越数。

Definition

丢番图逼近是研究实数能被有理数逼近的程度，其量化方式是衡量一个数与一个分数之间的差值相对于该分数分母大小的相对小程度。

Scope

本主题涵盖狄利克雷逼近定理和鸽巢原理、作为最佳逼近的连分数、数的无理数测度、刘维尔定理和刘维尔（超越）数的构造、关于代数数逼近的图厄-西格尔-罗斯定理，以及其在丢番图方程解的界定和超越性证明中的应用。

Core questions

• 根据狄利克雷定理的保证，每个无理数能被有理数逼近到何种程度？
• 为什么连分数收敛是最佳有理逼近？
• 刘维尔定理如何限制代数数的可逼近性，从而揭示超越数？
• 图厄-西格尔-罗斯定理施加了哪些更严格的限制，它如何界定丢番图方程的解？

Key theories

狄利克雷逼近定理

对于任何无理数，存在无穷多个分数，它们逼近该数的误差小于分母平方的倒数，这个界限由鸽巢原理证明，并且基本上可以通过连分数达到。

刘维尔定理与超越性

代数数不能以快于其次数所决定的幂次被有理数逼近；那些能被更快逼近的数，例如刘维尔常数，必然是超越数。

图厄-西格尔-罗斯定理

一个无理代数数不能以本质上大于2的指数被逼近；这个最佳可能界限意味着广泛类别的丢番图方程的解是有限的。

Clinical relevance

逼近质量控制着涉及无理数比率的数值算法的稳定性，是格基约化（格密码学中攻击和构造的基础）以及准蒙特卡罗积分中使用的低差异序列设计的基础。

History

连分数逼近由欧拉和拉格朗日研究。刘维尔在1844年利用他的逼近界限构造了第一个明确的超越数；图厄、西格尔以及最终罗斯在1955年改进了代数数的界限，罗斯因此成果获得了菲尔兹奖。

Key figures

• Peter Gustav Lejeune Dirichlet
• Joseph Liouville
• Axel Thue
• Klaus Roth

Frequently asked questions

什么是无理数测度？

它量化了一个数能被有理数逼近的紧密程度：测度越大意味着可以实现更好的逼近。有理数的测度为1，代数无理数恰好为2（由罗斯定理），而刘维尔数的测度为无穷大。

逼近如何证明一个数是超越数？

如果一个数能被有理数逼近的速度快于刘维尔界限对任何代数数所允许的速度，那么它就不可能是代数数，因此它必然是超越数。