线性和佩尔方程

线性丢番图方程可通过欧几里得算法完全求解，而佩尔方程（寻求 x 平方减去 d y 平方等于一的整数解）则通过连分数揭示了实二次域的深层结构。

Definition

线性丢番图方程旨在寻找具有整数系数的线性方程的整数解；佩尔方程是二次丢番图方程 x 平方减去 d y 平方等于一，其中 d 是非平方正整数，其解构成一个无限的、有限生成的族。

Scope

本主题涵盖两个或更多变量的线性丢番图方程及其通过最大公约数和贝祖等式得到的完整解，佩尔方程及其负形式和广义形式，二次无理数的连分数展开，基本解以及如何从中生成所有解，以及与实二次域的单位和基本单位的联系。

Core questions

• 线性丢番图方程何时有整数解，以及如何描述完整的解集？
• 为什么佩尔方程对于非平方数 d 总是存在非平凡解？
• d 的平方根的连分数展开如何产生基本解？
• 所有佩尔解如何从基本解生成，以及这与二次域的单位有何关系？

Key theories

线性丢番图方程的可解性

方程 a x 加 b y 等于 c 存在整数解当且仅当 a 和 b 的最大公约数能整除 c，贝祖等式随后给出特解和完整的单参数族。

佩尔解的存在性和结构

对于非平方数 d，佩尔方程有无限多个解；存在一个基本解，所有其他解都是通过取实二次域中相应单位的幂次获得的。

连分数和二次无理数

d 的平方根的连分数展开最终是周期性的，其渐近分数提供了佩尔基本解，将丢番图可解性与丢番图逼近联系起来。

Clinical relevance

佩尔型方程和连分数出现在计算二次域的基本单位和判别式（regulator）的算法中，以及近似无理比率的应用中，在日历设计、齿轮比和格点约化方面具有实际用途。

History

印度数学家，特别是七世纪的婆罗摩笈多和使用查克拉瓦拉方法的婆什迦罗二世，在欧洲之前几个世纪就解决了佩尔方程。费马将其作为一个挑战提出，拉格朗日于1768年给出了第一个完整的欧洲证明；佩尔这个名字是欧拉的历史性误称。

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

为什么它被称为佩尔方程？

这是一个历史错误：欧拉将该方程归因于约翰·佩尔，尽管佩尔在这方面的工作很少；早期重要的进展是由印度数学家以及费马和拉格朗日做出的。

如何找到佩尔解？

将 d 的平方根展开为连分数；其周期性的渐近分数会产生基本解，所有其他解都通过重复复合生成。