Rủi ro và Tính chấp nhận được

Hàm rủi ro ghi lại tổn thất dự kiến của một quy tắc tại mọi giá trị tham số; tính chấp nhận được đặt câu hỏi liệu có quy tắc nào khác hoạt động tốt hơn ở mọi nơi và tốt hơn ở một số nơi hay không.

Definition

Hàm rủi ro của một quy tắc quyết định là tổn thất dự kiến dưới dạng hàm của tham số; một quy tắc không chấp nhận được nếu có một quy tắc khác có rủi ro không lớn hơn cho tất cả các giá trị tham số và nhỏ hơn nghiêm ngặt cho ít nhất một giá trị, và chấp nhận được nếu không tồn tại quy tắc nào như vậy.

Scope

Chủ đề này bao gồm các hàm tổn thất và hàm rủi ro, thứ tự từng phần của các quy tắc theo ưu thế rủi ro, các định nghĩa về quy tắc chấp nhận được và không chấp nhận được, tính không chấp nhận được của trung bình mẫu trong ba chiều trở lên như một ví dụ trung tâm, các phương pháp chứng minh tính chấp nhận được thông qua các lập luận Bayes và Bayes giới hạn và đồng nhất thức Stein, và mối quan hệ giữa tính chấp nhận được và tính không chệch.

Core questions

• Hàm rủi ro tóm tắt hiệu suất của một quy tắc trên không gian tham số như thế nào?
• Điều đó có nghĩa là gì khi một quy tắc vượt trội hơn một quy tắc khác, và do đó một quy tắc không chấp nhận được?
• Tại sao trung bình mẫu không chấp nhận được trong ba chiều trở lên dưới tổn thất bình phương sai số?
• Các lập luận Bayes và Bayes giới hạn được sử dụng để chứng minh tính chấp nhận được như thế nào?

Key theories

Ưu thế rủi ro và tính chấp nhận được

Một quy tắc không chấp nhận được khi một quy tắc khác có rủi ro không lớn hơn đồng nhất và nhỏ hơn nghiêm ngặt ở một số nơi; các quy tắc chấp nhận được là những quy tắc không thể được cải thiện đồng nhất, yêu cầu tối thiểu về tính tối ưu.

Tính không chấp nhận được của Stein

Dưới tổn thất bình phương sai số, ước lượng thông thường của trung bình chuẩn đa biến là không chấp nhận được trong ba chiều trở lên, bị chi phối bởi các ước lượng co rút, một kết quả được chứng minh bằng cách sử dụng đồng nhất thức Stein.

Clinical relevance

Việc nhận ra rằng một ước lượng quen thuộc có thể không chấp nhận được đã biện minh cho việc sử dụng thường xuyên các phương pháp co rút (shrinkage) và chính quy hóa (regularization) trong dự đoán đa chiều, nơi việc kéo các ước lượng về một trung tâm chung có thể làm giảm tổng rủi ro so với việc xử lý từng tọa độ riêng biệt.

History

Wald đã giới thiệu rủi ro và tính chấp nhận được vào những năm 1940. Bằng chứng của Stein năm 1956 rằng ước lượng trung bình chuẩn đa biến là không chấp nhận được trong ba chiều trở lên đã lật đổ trực giác và, cùng với ước lượng James-Stein năm 1961, đã biến tính chấp nhận được thành một mối quan tâm trung tâm.

Key figures

• Abraham Wald
• Charles Stein
• David Blackwell
• James O. Berger

Seminal works

• lehmannCasella1998

Frequently asked questions

Nếu một quy tắc chấp nhận được, liệu nó có phải là quy tắc tốt nhất không?

Không. Tính chấp nhận được chỉ loại trừ việc bị đánh bại đồng nhất; nhiều quy tắc chấp nhận được là tầm thường và một quy tắc tốt có thể không chấp nhận được, vì vậy tính chấp nhận được là một điều kiện cần nhưng chưa đủ cho tính tối ưu.

Tại sao chiều ba lại quan trọng đối với kết quả của Stein?

Tính không chấp nhận được của trung bình mẫu dưới tổn thất bình phương sai số đúng trong ba chiều trở lên nhưng không đúng trong một hoặc hai chiều; dưới ba chiều, co rút không thể cải thiện đồng nhất so với trung bình mẫu.