Lý thuyết trường và Lý thuyết Galois
Lý thuyết trường nghiên cứu số học của các trường và các mở rộng của chúng, còn lý thuyết Galois thiết lập một mối tương quan chính xác giữa các mở rộng trường và các nhóm đối xứng, giải quyết các vấn đề cổ điển về việc giải các phương trình đa thức.
Definition
Một trường là một vành giao hoán trong đó mọi phần tử khác không đều có một nghịch đảo nhân. Lý thuyết trường nghiên cứu các trường và các mở rộng giữa chúng; lý thuyết Galois phân tích một mở rộng chuẩn tắc, khả phân thông qua nhóm tự đẳng cấu của nó, tức là nhóm Galois.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm các mở rộng trường và bậc của chúng, các phần tử đại số và siêu việt, trường phân rã và bao đóng đại số, tính khả phân và tính chuẩn tắc, sự tương ứng Galois giữa các trường trung gian và các nhóm con, tính giải được bằng căn thức, và cấu trúc của các trường hữu hạn. Đây là đỉnh cao của một chuỗi các khóa học đại số sau đại học đầu tiên.
Sub-topics
Core questions
- Bậc và cấu trúc của một mở rộng trường cho trước là gì, và nó là đại số hay siêu việt?
- Nhóm Galois của một mở rộng phân loại các trường trung gian của nó như thế nào?
- Khi nào một phương trình đa thức có thể giải được bằng căn thức?
- Các trường hữu hạn có thể có là gì và chúng được xây dựng như thế nào?
Key theories
- Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
- Đối với một mở rộng Galois hữu hạn, tồn tại một song ánh đảo chiều bao hàm giữa các trường trung gian và các nhóm con của nhóm Galois, trong đó các nhóm con chuẩn tắc tương ứng với các mở rộng con chuẩn tắc.
- Tính giải được bằng căn thức
- Một đa thức giải được bằng căn thức khi và chỉ khi nhóm Galois của nó là một nhóm giải được; tiêu chí này giải thích sự bất khả thi của một công thức căn thức tổng quát cho các phương trình bậc năm và bậc cao hơn.
- Phân loại các trường hữu hạn
- Đối với mỗi lũy thừa nguyên tố, tồn tại, đến đẳng cấu, chính xác một trường hữu hạn có bậc đó, và nhóm nhân của nó là nhóm cyclic; các trường hữu hạn tạo thành một tháp được điều chỉnh bởi tính chia hết của các bậc của chúng.
Clinical relevance
Lý thuyết Galois đã giải quyết vấn đề tồn tại hàng thiên niên kỷ về việc giải các phương trình đa thức và các bài toán dựng hình cổ điển bằng thước thẳng và compa. Các trường hữu hạn là không thể thiếu trong lý thuyết mã hóa, mật mã học và tạo số giả ngẫu nhiên, và lý thuyết rộng hơn là nền tảng của lý thuyết số đại số.
History
Dựa trên chứng minh của Abel rằng phương trình bậc năm tổng quát không giải được bằng căn thức, Galois đã giới thiệu vào những năm 1830 nhóm của một phương trình và sự tương ứng mà ngày nay mang tên ông. Steinitz đã đưa ra lý thuyết trừu tượng hiện đại về các trường vào năm 1910, và Artin đã tái cấu trúc lý thuyết Galois theo các nhóm tự đẳng cấu và tính độc lập tuyến tính của các ký tự.
Key figures
- Évariste Galois
- Niels Henrik Abel
- Ernst Steinitz
- Emil Artin
- Leopold Kronecker
Related topics
Seminal works
- lang2002
- dummit2004
- artin2011
Frequently asked questions
- Tại sao phương trình bậc năm tổng quát không thể giải được bằng căn thức?
- Theo tiêu chí của Galois, tính giải được bằng căn thức tương đương với việc nhóm Galois là nhóm giải được. Nhóm đối xứng trên năm chữ cái, xuất hiện như nhóm Galois của một phương trình bậc năm tổng quát, không giải được, do đó không tồn tại công thức căn thức tổng quát.
- Sự tương ứng Galois thực sự khớp nối những gì?
- Nó ghép nối mỗi trường nằm giữa trường cơ sở và trường trên cùng với nhóm con của các tự đẳng cấu cố định nó, đảo ngược các bao hàm. Điều này chuyển đổi các câu hỏi khó về trường thành các câu hỏi dễ giải quyết hơn về các nhóm hữu hạn.