Logic bậc nhất và Tính đầy đủ

Logic bậc nhất là ngôn ngữ hình thức của các phát biểu định lượng về các đối tượng và quan hệ, và định lý đầy đủ của Goedel cho thấy hệ thống chứng minh của nó nắm bắt chính xác các câu đúng trong tất cả các cách diễn giải.

Definition

Logic bậc nhất mở rộng logic mệnh đề với các lượng từ bao trùm một miền đối tượng cùng với các ký hiệu quan hệ, hàm và hằng số; định lý đầy đủ phát biểu rằng một câu có thể suy ra được trong hệ thống chứng minh của nó chính xác khi nó là một hệ quả logic của các tiên đề đã giả định.

Scope

Chủ đề này bao gồm cú pháp của các ngôn ngữ bậc nhất, các thuật ngữ, công thức và câu, ngữ nghĩa của các cấu trúc và sự thỏa mãn, các khái niệm về tính hợp lệ và hệ quả logic, một hệ thống suy diễn cho logic bậc nhất, và các định lý đúng đắn và đầy đủ liên quan đến khả năng chứng minh với chân lý.

Core questions

• Cú pháp và ngữ nghĩa chính xác của logic bậc nhất là gì?
• Một câu là hệ quả logic của một lý thuyết có nghĩa là gì?
• Tại sao mọi câu hợp lệ đều có thể chứng minh được một cách hình thức?
• Tính đầy đủ kết nối hệ thống chứng minh với lớp tất cả các mô hình như thế nào?

Key theories

Định lý đúng đắn

Mọi câu có thể suy ra được trong hệ thống chứng minh đều đúng trong mọi mô hình của các tiền đề, do đó hệ thống suy diễn không bao giờ chứng minh các hệ quả sai.

Định lý đầy đủ của Goedel

Ngược lại, mọi câu đúng trong tất cả các mô hình của một lý thuyết đều có thể suy ra được từ nó, do đó khả năng chứng minh và hệ quả logic trùng khớp đối với logic bậc nhất.

Cấu trúc Henkin

Tính đầy đủ được chứng minh bằng cách xây dựng một mô hình trực tiếp từ một tập hợp các câu nhất quán tối đại với các bằng chứng cho các phát biểu tồn tại, đưa ra một công thức cú pháp để xây dựng các mô hình.

Clinical relevance

Logic bậc nhất là khuôn khổ tiêu chuẩn để hình thức hóa các lý thuyết toán học, và tính đầy đủ đảm bảo rằng bất kỳ chân lý ngữ nghĩa nào chung cho tất cả các mô hình về nguyên tắc đều có thể được chứng minh, làm nền tảng cho việc chứng minh định lý tự động và sự đầy đủ nền tảng của các hệ thống tiên đề.

History

Logic bậc nhất xuất hiện từ Begriffsschrift của Frege và được Hilbert và Ackermann tách biệt thành một hệ thống riêng biệt. Goedel đã chứng minh tính đầy đủ trong luận án tiến sĩ năm 1929 của mình, và công trình xây dựng của Henkin năm 1949 đã đưa ra bằng chứng hợp lý hóa bằng cách sử dụng các tập hợp nhất quán tối đại, đây là tiêu chuẩn ngày nay.

Key figures

• Gottlob Frege
• Kurt Goedel
• Leon Henkin
• Alfred Tarski

Seminal works

• enderton2001
• marker2002
• shoenfield1967

Frequently asked questions

Tính đầy đủ khác với các định lý không đầy đủ của Goedel như thế nào?

Tính đầy đủ liên quan đến hệ quả logic: mọi câu đúng trong tất cả các mô hình của một lý thuyết đều có thể chứng minh được. Tính không đầy đủ liên quan đến một lý thuyết cụ thể: một lý thuyết nhất quán đủ mạnh có những câu đúng trong mô hình dự định của nó mà nó không thể chứng minh được. Hai khái niệm này liên quan đến các ý nghĩa khác nhau và không mâu thuẫn.

Tại sao logic bậc nhất là lựa chọn tiêu chuẩn?

Nó đủ biểu cảm để hình thức hóa hầu hết toán học nhưng lại có tính đầy đủ và tính compact, những điều này không có ở các logic mạnh hơn như logic bậc hai. Sự cân bằng giữa khả năng biểu cảm và các tính chất siêu lý thuyết tốt làm cho nó trở thành khuôn khổ logic mặc định.