Các định lý Compactness và Loewenheim-Skolem

Các định lý compactness và Loewenheim-Skolem là hai kết quả nền tảng chi phối các cấu trúc mà các lý thuyết bậc nhất có thể mô tả, tiết lộ cả sức mạnh và những hạn chế cố hữu của logic bậc nhất.

Definition

Định lý compactness phát biểu rằng một tập hợp các câu bậc nhất là thỏa mãn được nếu và chỉ nếu mọi tập con hữu hạn của nó là thỏa mãn được; các định lý Loewenheim-Skolem phát biểu rằng bất kỳ lý thuyết bậc nhất nào có một mô hình vô hạn đều có các mô hình trong mọi lực lượng vô hạn ít nhất bằng lực lượng của ngôn ngữ của nó.

Scope

Chủ đề này bao gồm định lý compactness và chứng minh của nó thông qua tính đầy đủ hoặc siêu tích (ultraproducts), các định lý Loewenheim-Skolem hướng xuống và hướng lên về lực lượng của các mô hình, các hệ quả tiêu chuẩn của chúng bao gồm sự tồn tại của các mô hình không chuẩn của số học và giải tích, và nghịch lý Skolem.

Core questions

• Tại sao tính thỏa mãn hữu hạn của một lý thuyết đảm bảo một mô hình?
• Làm thế nào các định lý này tạo ra các mô hình không chuẩn của số học và số thực?
• Tại sao không có lý thuyết bậc nhất nào có thể đặc trưng một cấu trúc vô hạn theo lực lượng?
• Nghịch lý Skolem là gì và nó được giải quyết như thế nào?

Key theories

Định lý Compactness

Nếu mọi tập con hữu hạn của một tập hợp các câu có một mô hình, thì toàn bộ tập hợp đó có một mô hình; nó suy ra từ tính đầy đủ hoặc có thể được chứng minh về mặt ngữ nghĩa bằng siêu tích (ultraproducts).

Định lý Loewenheim-Skolem hướng xuống

Bất kỳ cấu trúc vô hạn nào cũng có một cấu trúc con cơ bản có lực lượng tối đa bằng lực lượng của ngôn ngữ của nó, do đó các lý thuyết đếm được với các mô hình vô hạn có các mô hình đếm được.

Định lý Loewenheim-Skolem hướng lên

Bất kỳ mô hình vô hạn nào cũng có thể được mở rộng một cách cơ bản thành các mô hình có mọi lực lượng lớn hơn, do đó các lý thuyết bậc nhất không thể cố định kích thước của các mô hình vô hạn của chúng.

Clinical relevance

Các định lý này là công cụ chính của lý thuyết mô hình: compactness được sử dụng để xây dựng các mô hình không chuẩn nhằm chứng minh hoặc chuyển giao các kết quả, và các định lý Loewenheim-Skolem giải thích tại sao các tiên đề hóa bậc nhất của các số tự nhiên hoặc số thực luôn chấp nhận các mô hình không mong muốn, định hình sự lựa chọn các khuôn khổ logic.

History

Loewenheim đã chứng minh một phiên bản của định lý hướng xuống vào năm 1915 và Skolem đã tổng quát hóa và làm sắc nét nó trong suốt những năm 1920. Compactness được Goedel thu được như một hệ quả của tính đầy đủ và được Maltsev mở rộng cho các ngôn ngữ không đếm được, người đầu tiên khai thác nó để suy ra các định lý đại số, mở đường cho lý thuyết mô hình ứng dụng.

Key figures

• Leopold Loewenheim
• Thoralf Skolem
• Kurt Goedel
• Anatoly Maltsev

Seminal works

• changkeisler1990
• marker2002
• hodges1993

Frequently asked questions

Mô hình không chuẩn của số học là gì?

Bằng tính compactness, người ta có thể thêm vào các tiên đề của số học một hằng số lớn hơn mọi chữ số; lý thuyết nhất quán thu được có một mô hình chứa các phần tử vô hạn vượt ra ngoài các số tự nhiên chuẩn. Các mô hình như vậy thỏa mãn chính xác các câu bậc nhất giống như mô hình chuẩn.

Nghịch lý Skolem là gì?

Định lý Loewenheim-Skolem hướng xuống đưa ra một mô hình đếm được của lý thuyết tập hợp, mặc dù lý thuyết đó chứng minh rằng các tập hợp không đếm được tồn tại. Giải pháp là tính không đếm được là tương đối so với mô hình: một tập hợp mà mô hình coi là không đếm được không có song ánh với các số tự nhiên bên trong mô hình, mặc dù một song ánh tồn tại bên ngoài.