Zamana Bağlı Olmayan Schrödinger Çözümleri
Bir potansiyel içindeki kuantum parçacığının enerji seviyelerini ve durağan dalga fonksiyonlarını bulmak, hesaplamalı kuantum mekaniğinin ilk görevidir; bu, ya dalga fonksiyonu boyunca 'atış' (shooting) yöntemiyle ya da ayrıklaştırılmış bir Hamiltoniyen'in köşegenleştirilmesiyle çözülmektedir.
Tanım
Zamana bağlı olmayan Schrödinger denklemi, çözümleri bir kuantum sisteminin durağan durumları ve enerji seviyeleri olan bir özdeğer denklemidir; bu denklemi sayısal olarak çözmek, belirli bir potansiyel için bu özdeğerleri ve özfonksiyonları bulmak anlamına gelmektedir.
Kapsam
Bu kapsam, durağan Schrödinger denkleminin bir ve birkaç boyutta sayısal çözümünü ele almaktadır: özdeğer arayışıyla 'atış ve eşleştirme' (shooting and matching), Numerov entegrasyon yöntemi ve Hamiltoniyen'i bir ızgara üzerinde veya bir bazda ayrıklaştıran matris yöntemleri. Bağlı durumları ve kısaca saçılma durumlarını incelemektedir.
Temel sorular
- Atış yöntemi, sınır koşullarını uygulayarak enerji özdeğerlerini nasıl bulmaktadır?
- Numerov yöntemi, Schrödinger denklemini entegre etmek için neden iyi bir şekilde uygundur?
- Hamiltoniyen'i ayrıklaştırmak, problemi matris köşegenleştirmesine nasıl dönüştürmektedir?
- Ayrık bağlı durumlar süreklilikten nasıl ayırt edilmektedir?
Temel kuramlar
- Atış ve eşleştirme
- Dalga fonksiyonu, deneme enerjisi için sınırlardan içeriye doğru entegre edilmekte ve enerji, içeriye ve dışarıya doğru olan çözümler sorunsuz bir şekilde eşleşene kadar ayarlanmaktadır; bu da izin verilen özdeğerleri seçmektedir.
- Numerov entegrasyonu
- Numerov yöntemi, dalga fonksiyonunu entegre ederken, birinci türev terimi olmaması gibi Schrödinger denkleminin özel yapısından yararlanarak, düşük maliyetle yüksek dereceli doğruluk elde etmektedir.
- Hamiltoniyen'in matris köşegenleştirmesi
- Hamiltoniyen'i bir ızgara üzerinde veya sonlu bir bazda temsil etmek, özdeğerleri enerji seviyeleri ve özvektörleri ayrıklaştırılmış dalga fonksiyonları olan bir matris ortaya çıkarmaktadır; bunlar standart özçözücüler (eigensolvers) tarafından bulunmaktadır.
Klinik önem
Durağan Schrödinger denklemini çözmek, atomik ve moleküler enerji seviyelerini, kuantum kuyucukları ve nanoyapıların spektrumlarını ve elektronik yapı hesaplamalarını besleyen tek parçacık orbitallerini sağlamaktadır.
Tarihçe
Schrödinger denkleminin sayısal entegrasyonu, 1926'daki formülasyonundan kısa bir süre sonra başlamış, başlangıçta gök mekaniği için geliştirilen Numerov yöntemi temel bir araç haline gelmiştir; bilgisayarların gelişimi, tam Hamiltoniyen köşegenleştirmesini rutin bir alternatif haline getirmiştir.
Öne çıkan isimler
- Boris Numerov
- Erwin Schrodinger
- Jos Thijssen
İlgili konular
Temel eserler
- thijssen2007
- giordano2006
Sıkça sorulan sorular
- Matris köşegenleştirmesi yerine atış yöntemi ne zaman kullanılmalıdır?
- Atış yöntemi, tek bir özdeğerin aynı anda arandığı tek boyutlu veya radyal problemler için doğal ve doğru bir yaklaşımdır. Matris köşegenleştirmesi ise birçok seviyenin aynı anda gerektiği veya atış yönteminin zorlaştığı daha yüksek boyutlu durumlarda daha kullanışlıdır.
- Bu denklem için Numerov yöntemi neden tercih edilmektedir?
- Schrödinger denkleminin birinci türev terimi bulunmamaktadır; Numerov şeması bu durumu özellikle değerlendirmek üzere tasarlanmıştır ve temel bir entegratöre kıyasla çok az ek çabayla dördüncü dereceden doğruluk sağlamaktadır.