Risk ve Kabul Edilebilirlik
Risk fonksiyonu, bir kuralın beklenen kaybını her parametre değerinde kaydetmektedir; kabul edilebilirlik ise, başka herhangi bir kuralın her yerde en az onun kadar iyi ve bir yerde daha iyi performans gösterip göstermediğini sorgulamaktadır.
Tanım
Bir karar kuralının risk fonksiyonu, parametrenin bir fonksiyonu olarak beklenen kayıptır; bir kural, başka bir kuralın tüm parametre değerleri için riski daha büyük değilse ve en az bir değer için kesinlikle daha küçükse kabul edilemezdir, ve böyle bir kural yoksa kabul edilebilir olarak tanımlanır.
Kapsam
Bu konu, kayıp fonksiyonları ve risk fonksiyonunu, kuralların risk baskınlığına göre kısmi sıralanmasını, kabul edilebilir ve kabul edilemez kuralların tanımlarını, üç veya daha fazla boyutta örneklem ortalamasının kabul edilemezliğini merkezi bir örnek olarak, Bayes ve sınırlayıcı-Bayes argümanları ile Stein özdeşliği aracılığıyla kabul edilebilirliği kanıtlama yöntemlerini ve kabul edilebilirlik ile yansızlık arasındaki ilişkiyi kapsamaktadır.
Temel sorular
- Risk fonksiyonu, bir kuralın parametre uzayındaki performansını nasıl özetlemektedir?
- Bir kuralın diğerine baskın gelmesi ve dolayısıyla bir kuralın kabul edilemez olması ne anlama gelmektedir?
- Karesel hata kaybı altında örneklem ortalaması neden üç veya daha fazla boyutta kabul edilemezdir?
- Bayes ve sınırlayıcı-Bayes argümanları kabul edilebilirliği kanıtlamak için nasıl kullanılmaktadır?
Temel kuramlar
- Risk baskınlığı ve kabul edilebilirlik
- Bir kural, başka bir kuralın riski her yerde daha büyük değil ve bir yerde kesinlikle daha küçükse kabul edilemezdir; kabul edilebilir kurallar ise tekdüze olarak iyileştirilemeyenler olup, minimal optimalite gereksinimidir.
- Stein'ın kabul edilemezliği
- Karesel hata kaybı altında, çok değişkenli normal ortalamanın olağan tahmin edicisi, üç veya daha fazla boyutta kabul edilemezdir ve küçültme tahmin edicileri tarafından baskın kılınmaktadır; bu sonuç Stein özdeşliği kullanılarak kanıtlanmıştır.
Klinik önem
Tanıdık bir tahmin edicinin kabul edilemez olabileceğini kabul etmek, yüksek boyutlu tahminlerde küçültme (shrinkage) ve düzenlileştirme (regularization) yöntemlerinin rutin kullanımını haklı çıkarmaktadır; zira bu yöntemlerde tahminleri ortak bir merkeze çekmek, her bir koordinatı ayrı ayrı ele almaya kıyasla toplam riski kanıtlanabilir şekilde düşürmektedir.
Tarihçe
Wald, 1940'larda risk ve kabul edilebilirliği tanıtmıştır. Stein'ın 1956'da çok değişkenli normal ortalama tahmin edicisinin üç veya daha fazla boyutta kabul edilemez olduğunu kanıtlaması sezgileri altüst etmiş ve 1961'deki James-Stein tahmin edicisi ile birlikte kabul edilebilirliği merkezi bir endişe haline getirmiştir.
Öne çıkan isimler
- Abraham Wald
- Charles Stein
- David Blackwell
- James O. Berger
İlgili konular
Temel eserler
- lehmannCasella1998
Sıkça sorulan sorular
- Bir kural kabul edilebilir ise, en iyi kural mıdır?
- Hayır. Kabul edilebilirlik yalnızca tekdüze olarak yenilmeyi dışlamaktadır; birçok kabul edilebilir kural vasattır ve iyi bir kural kabul edilemez olabilir, bu nedenle kabul edilebilirlik, optimalite için gerekli ancak yeterli olmaktan çok uzak bir koşuldur.
- Stein'ın sonucu için neden üçüncü boyut önemlidir?
- Karesel hata kaybı altında örneklem ortalamasının kabul edilemezliği, üç veya daha fazla boyutta geçerlidir, ancak bir veya iki boyutta geçerli değildir; üç boyutun altında, küçültme örneklem ortalamasını tekdüze olarak iyileştirememektedir.