Çözülebilir Grup
Çözülebilir bir grup, abel gruplarından normal alt gruplar zinciri aracılığıyla inşa edilebilen bir gruptur; bu, polinom denklemlerinin radikallerle çözülebilirliğini yöneten yapısal bir özelliktir.
Tanım
Bir grup, ardışık bölüm grupları abel olan sonlu bir altnormal seriye sahipse veya eşdeğer olarak, türev serisi trivial alt grupta sonlanıyorsa çözülebilirdir.
Kapsam
Bu konu, türev serisi ve komütatör alt gruplarını, abel faktörlü altnormal serileri, çözülebilirliğin çeşitli tanımlarının denkliğini, daha güçlü bir koşul olarak nilpotent grupları ve Galois teorisinde çözülebilir grupların rolünü kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir grubu abel katmanlarından inşa etmek ne anlama gelmektedir?
- Türev serisi ve altnormal seriler çözülebilirliği nasıl karakterize etmektedir?
- Hangi standart grup aileleri çözülebilirdir ve hangileri değildir?
- Çözülebilirlik, denklemleri radikallerle çözmek için neden belirleyici koşuldur?
Temel kuramlar
- Türev Serisi Karakterizasyonu
- Bir grup, ancak ve ancak komütatör alt grubunun iterasyonuyla elde edilen türev serisi, sonlu sayıda adımda trivial gruba ulaşırsa çözülebilirdir.
- Çözülebilir Grupların Kapanım Özellikleri
- Çözülebilir grupların alt grupları ve bölüm grupları çözülebilirdir; ayrıca çözülebilir bir grubun çözülebilir bir grupla genişlemesi de çözülebilirdir, bu nedenle çözülebilirlik standart yapısal işlemler altında korunmaktadır.
- Çözülebilirlik ve Radikaller
- Sıfır karakteristiğe sahip bir cisim üzerindeki bir polinom, ancak ve ancak Galois grubu çözülebilir bir grup ise radikallerle çözülebilirdir; bu kriter, genel beşinci dereceden denklemin radikallerle çözülemeyeceğini kanıtlamaktadır.
Klinik önem
Çözülebilir gruplar, denklem teorisindeki kesin engeli temsil etmektedir: Galois'nin kriteri, bir grubun çözülebilirliğini polinomların radikallerle çözülebilirliğine bağlamaktadır. Bu kavram aynı zamanda sonlu grup teorisini de düzenlemektedir; Feit-Thompson teoremi, tek mertebeli her grubun çözülebilir olduğunu göstermektedir.
Tarihçe
Kavram, Galois'nin hangi denklemlerin radikallerle çözülebilir olduğu üzerine yaptığı çalışmadan ortaya çıkmıştır; 'çözülebilir' terimi başlangıçta denkleme atıfta bulunurken, karşılık gelen grup-teorik özellik adını korumuştur. 1963 tarihli Feit-Thompson teoremi, tek mertebeli tüm grupların çözülebilir olduğunu belirtmesiyle sonlu basit grupların sınıflandırılmasında bir dönüm noktası olmuştur.
Öne çıkan isimler
- Évariste Galois
- Walter Feit
- John G. Thompson
İlgili konular
Temel eserler
- dummit2004
- rotman1995
- isaacs2008
Sıkça sorulan sorular
- Çözülebilir ve nilpotent gruplar arasındaki fark nedir?
- Nilpotent gruplar bir merkez serisine sahiptir ve kesinlikle daha küçük bir sınıf oluşturur; her nilpotent grup çözülebilirdir ancak tersi doğru değildir. Sonlu nilpotent gruplar, Sylow alt gruplarının doğrudan çarpımlarıdır.
- Beş harfli simetrik grup neden çözülebilir değildir?
- Türev serisi, beş harfli trivial olmayan alterne grupta stabilize olur; bu grup basit ve abel olmayan bir grup olduğundan, seri asla trivial alt gruba ulaşmaz. Bu çözülemezlik, genel beşinci dereceden denklemin radikal formülünün olmamasının nedenidir.