Grup Kuramı
Grup kuramı, tek bir birleşmeli (associative) ve terslenebilir (invertible) ikili işlemle donatılmış kümelerin cebirsel yapısını incelemekte olup, matematik ve fizik bilimleri genelinde simetri için evrensel bir dil sağlamaktadır.
Tanım
Bir grup, G kümesi ile birlikte, birleşmeli (associative) olan, birim elemana sahip olan ve her elemana bir ters eleman atayan bir ikili işlemden oluşmaktadır. Grup kuramı, bu tür yapıların ve aralarındaki dönüşümlerin sistematik incelenmesidir.
Kapsam
Bu alan, grubun soyut kavramını, alt grupları ve yan kümeleri (cosets), homomorfizmaları ve bölüm gruplarını, grup etkilerini, Sylow teoremlerini, bileşim ve türetilmiş serileri ile temsil kuramının (representation theory) unsurlarını kapsamaktadır. Sonlu ve sonsuz grupları, değişmeli (abelian) ve değişmesiz (non-abelian) grupları ve lisansüstü cebir müfredatının temelini oluşturan yapısal sınıflandırma sonuçlarını içermektedir.
Alt konular
Temel sorular
- İki grubu izomorfizmaya kadar ayıran değişmezler nelerdir?
- Sonlu bir grup, normal alt gruplar ve bölüm grupları aracılığıyla daha basit parçalara nasıl ayrıştırılabilir?
- Belirli bir nesnenin veya eylemin simetri grupları olarak hangi sonlu gruplar ortaya çıkar?
- Bir grup ne zaman çözülebilir (solvable) veya basit (simple) olur ve bu yapısal olarak ne anlama gelir?
Temel kuramlar
- Lagrange teoremi
- Sonlu bir grupta, herhangi bir alt grubun mertebesi (order), grubun mertebesini böler; bu durum, alt grupların ve eleman mertebelerinin olası boyutlarını kısıtlamaktadır.
- Sylow teoremleri
- Grup mertebesini bölen bir asal kuvvet için, o mertebeden alt gruplar (Sylow alt grupları) mevcuttur, hepsi eşleniktir (conjugate) ve sayıları kesin kongrüans (congruence) koşullarını sağlamaktadır; bu da sonlu grupları analiz etmek için güçlü bir araç sunmaktadır.
- Jordan-Hölder teoremi
- Sonlu bir grubun herhangi iki bileşim serisi, izomorfizmaya kadar aynı uzunluğa ve aynı basit bileşim faktörleri çoklu kümesine (multiset) sahiptir; bu da bu faktörleri yapısal değişmezler haline getirmektedir.
Klinik önem
Grup kuramı, simetrinin matematiksel temelini oluşturmaktadır: kimyada kristalografik ve moleküler nokta gruplarının sınıflandırmasının, fizikte korunan niceliklerin ve ayar simetrilerinin (gauge symmetries) analizinin ve bilgisayar bilimlerinde permütasyonların ve hata düzeltme kodlarının yapısının temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Grup kavramı, on dokuzuncu yüzyılda Galois'nin polinom köklerinin permütasyonları üzerine yaptığı çalışmalardan ve Cauchy'nin ikameler (substitutions) üzerine yaptığı çalışmalardan kristalleşmiş, Cayley tarafından soyut hale getirilmiş ve Jordan, Sylow ve diğerleri tarafından yapısal bir kurama dönüştürülmüştür. Yirminci yüzyılın sonlarında tamamlanan sonlu basit grupların sınıflandırılması, matematikteki en büyük işbirlikçi başarımlardan biri olarak kabul edilmektedir.
Öne çıkan isimler
- Évariste Galois
- Arthur Cayley
- Camille Jordan
- Ludwig Sylow
- Sophus Lie
İlgili konular
Temel eserler
- lang2002
- rotman1995
- dummit2004
Sıkça sorulan sorular
- Bir grubu bir halkadan (ring) veya cisimden (field) ayıran nedir?
- Bir grup tek bir ikili işleme sahiptir; bir halka iki işleme (toplama ve çarpma) sahiptir ve bir cisim, sıfır olmayan her elemanın terslenebilir olduğu değişmeli bir halkadır. Gruplar simetriyi yakalarken, halkalar ve cisimler aritmetik yapıyı yakalamaktadır.
- Sylow teoremleri neden bu kadar merkezi bir öneme sahiptir?
- Bu teoremler, asal kuvvet mertebesindeki alt grupların varlığını garanti eder ve bunların sayısını ve eşlenikliğini (conjugacy) sıkı bir şekilde kontrol eder; bu da onları sonlu gruplar hakkında sınıflandırma ve basit olmama (non-simplicity) sonuçlarını kanıtlamak için birincil itici güç haline getirmektedir.