Cisim Kuramı ve Galois Kuramı
Cisim kuramı, cisimlerin ve onların genişlemelerinin aritmetiğini incelerken, Galois kuramı cisim genişlemeleri ile simetri grupları arasında kesin bir sözlük oluşturarak polinom denklemlerini çözmeye dair klasik soruları çözüme kavuşturmaktadır.
Tanım
Bir cisim, sıfır olmayan her elemanın çarpımsal tersi bulunan değişmeli bir halkadır. Cisim kuramı, cisimleri ve aralarındaki genişlemeleri inceler; Galois kuramı ise normal, ayrılabilir bir genişlemeyi, onun otomorfizm grubu olan Galois grubu aracılığıyla analiz etmektedir.
Kapsam
Bu alan, cisim genişlemelerini ve derecelerini, cebirsel ve transandantal elemanları, ayrılma cisimlerini ve cebirsel kapanışları, ayrılabilirlik ve normalliği, ara cisimler ile alt gruplar arasındaki Galois yazışmasını, radikallerle çözülebilirliği ve sonlu cisimlerin yapısını kapsamaktadır. İlk lisansüstü cebir ders dizisinin doruk noktası olarak kabul edilmektedir.
Alt konular
Temel sorular
- Belirli bir cisim genişlemesinin derecesi ve yapısı nedir ve bu genişleme cebirsel midir yoksa transandantal midir?
- Bir genişlemenin Galois grubu, ara cisimlerini nasıl sınıflandırmaktadır?
- Bir polinom denklemi ne zaman radikallerle çözülebilir?
- Olası sonlu cisimler nelerdir ve nasıl inşa edilmektedirler?
Temel kuramlar
- Galois Kuramının Temel Teoremi
- Sonlu bir Galois genişlemesi için, ara cisimler ile Galois grubunun alt grupları arasında kapsama ilişkisini tersine çeviren birebir bir eşleme bulunmaktadır; bu eşleme altında normal alt gruplar normal alt genişlemelere karşılık gelmektedir.
- Radikallerle Çözülebilirlik
- Bir polinom, ancak ve ancak Galois grubu çözülebilir bir grup ise radikallerle çözülebilirdir; bu kriter, beşinci ve daha yüksek dereceli denklemler için genel bir radikal formülün imkansızlığını açıklamaktadır.
- Sonlu Cisimlerin Sınıflandırılması
- Her asal kuvvet için, izomorfizmaya kadar, o mertebeden tam olarak bir sonlu cisim bulunmaktadır ve bu cismin çarpımsal grubu devirlidir; sonlu cisimler, derecelerinin bölünebilirliği ile yönetilen bir kule oluşturmaktadır.
Klinik önem
Galois kuramı, binlerce yıllık polinom denklemlerini çözme sorununu ve klasik pergel-cetvel çizim problemlerini çözüme kavuşturmuştur. Sonlu cisimler, kodlama kuramı, kriptografi ve sözde rastgele sayı üretimi alanlarında vazgeçilmezdir; daha geniş kuram ise cebirsel sayı kuramının temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Abel'in genel beşinci dereceden denklemin radikallerle çözülemeyeceğine dair kanıtı üzerine inşa edilen Galois, 1830'larda bir denklemin grubunu ve günümüzde kendi adını taşıyan yazışmayı tanıtmıştır. Steinitz, 1910'da cisimlerin modern soyut kuramını sunmuş, Artin ise Galois kuramını otomorfizm grupları ve karakterlerin doğrusal bağımsızlığı açısından yeniden formüle etmiştir.
Öne çıkan isimler
- Évariste Galois
- Niels Henrik Abel
- Ernst Steinitz
- Emil Artin
- Leopold Kronecker
İlgili konular
Temel eserler
- lang2002
- dummit2004
- artin2011
Sıkça sorulan sorular
- Genel beşinci dereceden denklem neden radikallerle çözülemez?
- Galois'nin kriterine göre, radikallerle çözülebilirlik, Galois grubunun çözülebilir olmasına eşdeğerdir. Genel bir beşinci dereceden denklemin Galois grubu olarak ortaya çıkan beş harfli simetrik grup çözülebilir değildir, bu nedenle genel bir radikal formül bulunmamaktadır.
- Galois yazışması aslında neleri eşleştirmektedir?
- Bu yazışma, temel cisim ile üst cisim arasında yer alan her cismi, onu sabitleyen otomorfizmlerin alt grubuyla eşleştirerek kapsama ilişkilerini tersine çevirmektedir. Bu durum, cisimlerle ilgili zor soruları sonlu gruplarla ilgili daha kolay ele alınabilir sorulara dönüştürmektedir.